指标函数V为v之和。最优值函数f(xk)为从第k段的状态x出发到过程终结的最 小费用,满足 f(xk)=min[v, (xk, u,)+ f (],k=n,, 1 其中允许决策集合Uk由每阶段的最大生产能力决定。若设过程终结时允许存储量为 xm+1,则终端条件是 fn+1(xn+1)=0 (5)~(7)构成该问题的动态规划模型。 53资源分配问题 种或几种资源(包括资金)分配给若干用户,或投资于几家企业,以获得最大的 效益。资源分配问题( resource allocating problem)可以是多阶段决策过程,也可以是 静态规划问题,都能构造动态规划模型求解。下面举例说明。 例5机器可以在高、低两种负荷下生产。a台机器在高负荷下的年产量是g() 在低负荷下的年产量是h(a),高、低负荷下机器的年损耗率分别是a1和b (0<b1<a1<1)。现有m台机器,要安排一个n年的负荷分配计划,即每年初决定 多少台机器投入高、低负荷运行,使n年的总产量最大。如果进一步假设g(a)=a h(u)=Ba(a>β>0),即高、低负荷下每台机器的年产量分别为a和β,结果将 有什么特点 解年度为阶段变量k=1,2,…,n。状态xk为第k年初完好的机器数,决策uk为 第k年投入高负荷运行的台数。当x4或lk不是整数时,将小数部分理解为一年中正常 工作时间或投入高负荷运行时间的比例。 机器在高、低负荷下的年完好率分别记为a和b,则a a<b。因为第k年投入低负荷运行的机器台数为xk-l4,所以状态转移方程是 xkl=auk +b(xg -uk) (8) 阶段指标v是第k年的产量,有 v(Xk,u=g(ur+h(xk-W (9) 指标函数是阶段指标之和,最优值函数f(xk)满足 f(xx)=max [v,(xr, uk)+M(kl)l, ≤x 0≤xk≤m,k=n,…,2,1 及自由终端条件 fn+(xn+1)=0,0≤xn1≤m (11) 当v中的g,h用较简单的函数表达式给出时,对于每个k可以用解析方法求解极 值问题。特别,若g(u)=a,h(u)=Bt,(10)中的[v4(xk,u4)+f+1(xk)将是lk 的线性函数,最大值点必在区间0≤ak≤xk的左端点uk=0或右端点lk=xk取得, 即每年初将完好的机器全部投入低负荷或高负荷运行。 §6具体的应用实例 例6设某工厂有1000台机器,生产两种产品A、B,若投入x台机器生产A产-63- 指标函数Vkn 为 k v 之和。最优值函数 ( ) k k f x 为从第k 段的状态 k x 出发到过程终结的最 小费用，满足 ( ) min[ ( , ) ( )], , ,1. f x vk xk uk f k 1 xk 1 k n L u U k k k k = + + + = ∈ 其中允许决策集合Uk 由每阶段的最大生产能力决定。若设过程终结时允许存储量为 0 n+1 x ，则终端条件是 ( ) 0. 0 f n+1 xn+1 = （7） （5）~（7）构成该问题的动态规划模型。 5.3 资源分配问题 一种或几种资源（包括资金）分配给若干用户，或投资于几家企业，以获得最大的 效益。资源分配问题（resource allocating Problem）可以是多阶段决策过程，也可以是 静态规划问题，都能构造动态规划模型求解。下面举例说明。 例 5 机器可以在高、低两种负荷下生产。u 台机器在高负荷下的年产量是 g(u) ， 在低负荷下的年产量是 h(u) ，高、低负荷下机器的年损耗率分别是 1 a 和 1 b （0 1 < b1 < a1 < ）。现有 m 台机器，要安排一个 n 年的负荷分配计划，即每年初决定 多少台机器投入高、低负荷运行，使n 年的总产量最大。如果进一步假设 g(u) = αu ， h(u) = βu （α > β > 0），即高、低负荷下每台机器的年产量分别为α 和 β ，结果将 有什么特点。 解 年度为阶段变量k = 1,2,L, n 。状态 k x 为第k 年初完好的机器数，决策uk 为 第k 年投入高负荷运行的台数。当 k x 或uk 不是整数时，将小数部分理解为一年中正常 工作时间或投入高负荷运行时间的比例。 机器在高、低负荷下的年完好率分别记为 a 和 b ，则 1 a = 1− a ， 1 b = 1− b ，有 a < b 。因为第k 年投入低负荷运行的机器台数为 k uk x − ，所以状态转移方程是 ( ) k 1 k k uk x + = au + b x − （8） 阶段指标 k v 是第k 年的产量，有 ( , ) ( ) ( ) k k k k k uk v x u = g u + h x − （9） 指标函数是阶段指标之和，最优值函数 ( ) k k f x 满足 0 , , ,2,1. ( ) max [ ( , ) ( )], 1 1 0 x m k n L f x v x u f x k k k k k k u x k k k k ≤ ≤ = = + + + ≤ ≤ (10) 及自由终端条件 ( ) 0, 0 . f n+1 xn+1 = ≤ xn+1 ≤ m （11） 当 k v 中的 g, h 用较简单的函数表达式给出时，对于每个 k 可以用解析方法求解极 值问题。特别，若 g(u) = αu ，h(u) = βu ，（10）中的[ ( , ) ( )] k k k k 1 k v x u f x + + 将是uk 的线性函数，最大值点必在区间 k k 0 ≤ u ≤ x 的左端点uk = 0 或右端点 k k u = x 取得， 即每年初将完好的机器全部投入低负荷或高负荷运行。 §6 具体的应用实例 例 6 设某工厂有 1000 台机器，生产两种产品 A、B ，若投入 x 台机器生产 A 产