品,则纯收入为5x,若投入y台机器生产B种产品,则纯收入为4y,又知:生产A种 产品机器的年折损率为20%,生产B产品机器的年折损率为10%,问在5年内如何安 排各年度的生产计划,才能使总收入最高? 解年度为阶段变量k=1,2,3,4,5 令xk表示第k年初完好机器数,lk表示第k年安排生产A种产品的机器数,则 xk-4为第k年安排生产B种产品的机器数,且0≤uk≤xk。 则第k+1年初完好的机器数 xk+1=(1-0.2)a4+(1-0.1(xk-u4)=0.9xk-0.1uk (12) 令v(xk,L)表示第k年的纯收入,f(x)表示第k年初往后各年的最大利润之 f6(x6)=0 则 f(xk)=max v(k,ur)+M(k)) max{5uk+4(xk-l4)+f+1(x+1)}=max{uk+4x+f+1(xk+1)}(14) (1)k=5时,由(13)、(14)式得 fs(xs)=max (us +4x53 、s+4x关于u求导,知其导数大于零,所以v+4x,在u等于x处取得最大值, =x5时,f5(x3)=5x (2)k=4时,由(12)、(14)式得 f4(x4)=max{4+4x4+5xs} =max{u4+4x4+5(0.9x4-0.1u4)}=max{0.5a4+8.5x4} Osu Sx4 0sM4≤x4 当l4=x4时,f4(x4)=9x4 (3)k=3时, f3(x3)=max{u23+4x3+9x4} 0≤3Sx =max{u2+4x3+90.9x3-0.l3)}=max{0.la2+121x3} 当l3=x3时,f3(x3)=122x (4)k=2时, f2(x2)=max{2+4x2+122x3}=max{-0.22a2+14.98x2} 0≤n2≤x2 当u2=0时,f2(x2)=1498x2 (5)k=1时 f(x1)=max{u1+4x1+1498x2}=max{-0.4981+17482x1} 当l1=0时,f1(x1)=17482x1。因为 x1=1000(台)-64- 品，则纯收入为5x ，若投入 y 台机器生产 B 种产品，则纯收入为4y ，又知：生产 A 种 产品机器的年折损率为 20%，生产 B 产品机器的年折损率为 10%，问在 5 年内如何安 排各年度的生产计划，才能使总收入最高？ 解 年度为阶段变量 k = 1,2,3,4,5。 令 k x 表示第 k 年初完好机器数，uk 表示第 k 年安排生产 A 种产品的机器数，则 k uk x − 为第k 年安排生产 B 种产品的机器数，且 k k 0 ≤ u ≤ x 。 则第 k +1年初完好的机器数 k k k k k uk x +1 = (1− 0.2)u + (1− 0.1)(x − u ) = 0.9x − 0.1 （12） 令 ( , ) k k uk v x 表示第 k 年的纯收入， ( ) k k f x 表示第 k 年初往后各年的最大利润之 和。 显然 f 6 (x6 ) = 0 （13） 则 ( ) max { ( , ) ( )} 1 1 0 + + ≤ ≤ = k k k + k k u x k k f x v x u f x k k max {5 4( ) ( )} max { 4 ( )} 1 1 0 1 1 0 + + ≤ ≤ + + ≤ ≤ = + − + = k + k + k k u x k k k k k u x u x u f x u x f x k k k k （14） （1）k = 5时，由（13）、（14）式得 ( ) max { 4 } 5 5 0 5 5 5 5 f x u x u x = + ≤ ≤ 5 4 5 u + x 关于u5求导，知其导数大于零，所以 5 4 5 u + x 在u5等于 5 x 处取得最大值， 即 5 5 u = x 时， 5 5 5 5 f (x ) = x 。 （2）k = 4 时，由（12）、（14）式得 ( ) max { 4 5 } 4 4 5 0 4 4 4 4 f x u x x u x = + + ≤ ≤ max { 4 5(0.9 0.1 )} max {0.5 8.5 } 4 4 0 4 4 4 4 0 4 4 4 4 u x x u u x u x u x = + + − = + ≤ ≤ ≤ ≤ 当 4 4 u = x 时， 4 4 4 f (x ) = 9x （3）k = 3时， ( ) max { 4 9 } 3 3 4 0 3 3 3 3 f x u x x u x = + + ≤ ≤ max { 4 9(0.9 0.1 )} max {0.1 12.1 } 3 3 0 3 3 3 3 0 3 3 3 3 u x x u u x u x u x = + + − = + ≤ ≤ ≤ ≤ 当 3 3 u = x 时， 3 3 2 3 f (x ) = 12. x （4）k = 2 时， ( ) max { 4 12.2 } max { 0.22 14.98 } 2 2 0 2 2 3 0 2 2 2 2 2 2 f x u x x u x u x u x = + + = − + ≤ ≤ ≤ ≤ 当 0 u2 = 时， 2 2 2 f (x ) = 14.98x 。 （5）k = 1时， ( ) max{ 4 14.98 } max{ 0.498 17.482 } 1 1 0 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 f x u x x u x u x u x = + + = − + ≤ ≤ ≤ ≤ 当 0 u1 = 时， 1 1 1 f (x ) = 17.482x 。因为 1000 x1 = （台）