在这个洞里头,如果吹得口风很小呢,你听不到声音,这个簧片不振动,达到一个临界的风速的时候,这个 簧片就开始振荡,发出周期性的运动,发声,这个就是一个典型的Hopf分岔。那么,我们通常看到的乐器, 风琴、唢呐、单簧管、双簧管、号、笛等等都是利用这个Hopf分岔这个原理来制作的,都是从不发声到发 声,利用它发声的这个段,这样一个运动状态,发声的就是一个周期运动的一个状态,刚才是用风来比喻, 进一步讲,激发振动的如果不是风,而是摩擦力,那么我们的摩擦力或者水力也会发现,比如说我们拉小提 琴的弓和弦摩擦就是一个典型的Hopf分岔,如果我这个弓上头没有,松香很少,摩擦力很小,那么你就发现 这个弓就可以滑过来,根本不发声,那么擦了一些松香,松香是增加摩擦力的,增加一点摩擦力,摩擦力作 为我们控制系统的参数,到一定的程度就发声。当然了,Hopf分岔并不只是可以用来制作乐器,带来快乐, 也会带来烦恼和灾难,几乎所有的噪音,比如树叶子被风吹得沙沙声、机器的隆隆声、摩擦噪音,我们通常 老太太刮锅用的那种刺耳的那个声音就是摩擦噪音,水管子流水的时候,那个嗡嗡声都是和Hopf分岔有关的。 那么,在二十世纪三四十年代,航空当中有一种可怕的空难,叫做颤振,飞机飞到某一个临界速度的时候 飞机翅膀就会象刚才说的口琴的簧片一样的振起来,那个振动有的时候是发散的,几秒钟以内飞机翅膀就可 以振掉,然后造成机毁人亡,这样的空难出了很多起,后来由于人们硏究,逐渐的控制了,目前的飞机很少 有这种事故 在1940年,美国西北部就是叫华盛顿州建成了一座吊桥,长853.4米的 Tacoma(塔科姆)桥,在 Tacoma (塔科姆)那个海湾上的,建成以后不久,大概四个月,由于同年11月7日的一场不大的风,每秒19米 这个风很小,大概八级风吧,引起了振幅接近九米的颤振,正负九米相当于三层楼高,普通住房的三层楼高, 在这样大振幅的振荡之下,不一会儿这个桥就塌毁了,这就是当时实际的振荡,最后倒塌了。这是Hopf分岔 不仅会产生乐器、噪音,飞机的颤振、桥的颤振。还有一种,大概在生态上头硏究当中有一种模型叫做“捕 食者模型”,假如有两种生物共在一个池子里头,比方说我们说是大鱼和小鱼,大鱼吃小鱼,那么大鱼多了 时候呢,小鱼就很快的被吃掉了,小鱼就没有了,没有了呢,大鱼就饿死了,大鱼就减少了,大鱼减少到 定程度呢,小鱼失掉了它的天敌,于是小鱼就拼命繁殖,小鱼繁殖小鱼又增加,它并不经常是大鱼、小鱼处 于一个平衡点,而是经常是处于一种大鱼、小鱼此消彼涨的这样一个振荡状态,这个状态也是一个典型的分 岔,Hopf分岔,1918年意大利数学家把这个最早研究了两种生物的捕食者模型,当然了,现在生态学发展了, 研究整个的生物链,一个生物链的一个彼此消涨的情况 同样,股票市场的涨落、经济危机的周期性的发生、沙漠当中沙丘的周期性的推移、心脏的周期性的跳 动等等,都可以看作是一种分岔现象,也是一种Hopf分岔。1900年法国人做了一个流体实验,在一块金属 板上放了一个液体,下头加热这块金属板,开始的时候,整个的液体不动,加热到一定的程度以后,这个液 体就做一个小包圈、一个小包圈螺旋式的运动,也是一种周期运动,但是除了时间上的周期以外,还有空间 上的周期,这个在气象上很重要,我们平常看到太阳晒得,就像这样的天气,晒到下午地面热的时候,加热 这个空气,空气就产生局部的环流,单地的局部的环流就产生局部的风,你骑车进城的时候你就会发现,3 在这个洞里头，如果吹得口风很小呢，你听不到声音，这个簧片不振动，达到一个临界的风速的时候，这个 簧片就开始振荡，发出周期性的运动，发声，这个就是一个典型的 Hopf 分岔。那么，我们通常看到的乐器， 风琴、唢呐、单簧管、双簧管、号、笛等等都是利用这个 Hopf 分岔这个原理来制作的，都是从不发声到发 声，利用它发声的这个段，这样一个运动状态，发声的就是一个周期运动的一个状态，刚才是用风来比喻， 进一步讲，激发振动的如果不是风，而是摩擦力，那么我们的摩擦力或者水力也会发现，比如说我们拉小提 琴的弓和弦摩擦就是一个典型的 Hopf 分岔，如果我这个弓上头没有，松香很少，摩擦力很小，那么你就发现 这个弓就可以滑过来，根本不发声，那么擦了一些松香，松香是增加摩擦力的，增加一点摩擦力，摩擦力作 为我们控制系统的参数，到一定的程度就发声。当然了，Hopf 分岔并不只是可以用来制作乐器，带来快乐， 也会带来烦恼和灾难，几乎所有的噪音，比如树叶子被风吹得沙沙声、机器的隆隆声、摩擦噪音，我们通常 老太太刮锅用的那种刺耳的那个声音就是摩擦噪音，水管子流水的时候，那个嗡嗡声都是和 Hopf 分岔有关的。 那么，在二十世纪三四十年代，航空当中有一种可怕的空难，叫做颤振，飞机飞到某一个临界速度的时候， 飞机翅膀就会象刚才说的口琴的簧片一样的振起来，那个振动有的时候是发散的，几秒钟以内飞机翅膀就可 以振掉，然后造成机毁人亡，这样的空难出了很多起，后来由于人们研究，逐渐的控制了，目前的飞机很少 有这种事故。 在 1940 年，美国西北部就是叫华盛顿州建成了一座吊桥，长 853.4 米的 Tacoma（塔科姆）桥，在 Tacoma （塔科姆）那个海湾上的，建成以后不久，大概四个月，由于同年 11 月 7 日的一场不大的风，每秒 19 米， 这个风很小，大概八级风吧，引起了振幅接近九米的颤振，正负九米相当于三层楼高，普通住房的三层楼高， 在这样大振幅的振荡之下，不一会儿这个桥就塌毁了，这就是当时实际的振荡，最后倒塌了。这是 Hopf 分岔 不仅会产生乐器、噪音，飞机的颤振、桥的颤振。还有一种，大概在生态上头研究当中有一种模型叫做“捕 食者模型”，假如有两种生物共在一个池子里头，比方说我们说是大鱼和小鱼，大鱼吃小鱼，那么大鱼多了的 时候呢，小鱼就很快的被吃掉了，小鱼就没有了，没有了呢，大鱼就饿死了，大鱼就减少了，大鱼减少到一 定程度呢，小鱼失掉了它的天敌，于是小鱼就拼命繁殖，小鱼繁殖小鱼又增加，它并不经常是大鱼、小鱼处 于一个平衡点，而是经常是处于一种大鱼、小鱼此消彼涨的这样一个振荡状态，这个状态也是一个典型的分 岔，Hopf 分岔，1918 年意大利数学家把这个最早研究了两种生物的捕食者模型，当然了，现在生态学发展了， 研究整个的生物链，一个生物链的一个彼此消涨的情况。 同样，股票市场的涨落、经济危机的周期性的发生、沙漠当中沙丘的周期性的推移、心脏的周期性的跳 动等等，都可以看作是一种分岔现象，也是一种 Hopf 分岔。1900 年法国人做了一个流体实验，在一块金属 板上放了一个液体，下头加热这块金属板，开始的时候，整个的液体不动，加热到一定的程度以后，这个液 体就做一个小包圈、一个小包圈螺旋式的运动，也是一种周期运动，但是除了时间上的周期以外，还有空间 上的周期，这个在气象上很重要，我们平常看到太阳晒得，就像这样的天气，晒到下午地面热的时候，加热 这个空气，空气就产生局部的环流，单地的局部的环流就产生局部的风，你骑车进城的时候你就会发现，一