什么是分岔 主持人:好,请武教授马上给咱们带来一场精彩的学术报告,深入浅出的学术报告,叫做“什么是分岔”。 好,有请 武际可:我今天讲的是关于分岔的问题。分岔在英文叫做 Bifurcation,这个词在中文里头大概有六种 翻译,我看到的有六种翻译,每个含义用词都用得不一样,有的叫分叉、有的叫分枝、还有的叫分歧等等 这个概念最近几十年大概在自然科学甚至于社会科学、经济学等等领域用得很多,比如说化学、物理、力学、 数学都很多,还有气象学等等吧,说明它比较重要。那么,这个名词不像刚才主持人说的道路分岔那么具体, 它是一个抽象概念,为了说明这个概念,我们这样来讲,先从一个例子开始,讲一个例子。这是一个圆,上 头有一个光滑的环,对吧?我把它这个大圆垂直放的时候,那么这个小环总是在下头平衡,大家看清楚了 我怎么放它都是平衡的,最后滑在下头,现在我让这个环转起来,对吧,这样转,我给这个圆环这样一个角 速度,转起来以后,如果我这个角速度很小,大家看了,这个小环呢,还是呆在这个底下,这个位置总是 个平衡位置,等我转的这个角速度大到某一定的程度,大家注意看,现在这个环就跑在另外一个地方平衡 如果我们取一个角度表示这个小环的位置的话,那么我们就可以列出一个平衡方程来,这个很简单,这个小 环受三个力,一个是离心力、一个是重力、还有一个大环给它的约束反力,这两个力的正切应该就等于这个 反力,所以那个方程很容易写出来。写出这个方程,带星号的那个就是这个平衡方程,两个惯性力和重力之 比就等于那个约束反力,约束反力的角度,这个方程把它上头的质量和下头的质量消掉以后就得到下头 分解因式正好是两个,一个是sin0:另外一个就是括弧里头这个,这个方程有两个解,一个解就是上头的 θ等于零,就是永远这个角度等于零,放在这个位置是一个平衡点,还有一个解呢,是下头那个表示的这个 解,下头那个式子表示呢,就是我这个角速度使得括弧里头的那一项变成一的时候,θ就开始,从零开始要 往下飞了,在一定的角速度就离开原来的平衡点,然后跑到另外一个平衡点了。我们看到这个问题的解呢 实际上是两个解,两支,两支都随着Ω变,一支就是0永远等于零,就是这一支,另外一支是那一支,这边 是对称的,另外一边我没有画,这两支的焦点T就是分岔点,我们就说的分岔点。这个问题是一个生活当中 我们应该看到的最常见的一个分岔问题,那么我们就问,一个分岔问题需要一些什么条件呢?我把它归结有 需要三个条件:第一个条件,要有一个参数系统描述这个客观系统的状态,我们这个例子里头就是这个角度 这个角度不同,平衡的位置就不同:第二个,要有一个描述这个系统运动的参数,我刚才说的这个9,这个 角速度,要有这么一个参数;第三个,要有一个平衡方程,要有控制整个系统发展过程的一个平衡方程。 刚才我们看到的带星号的那个方程就是这个方程。那么我们一条一条来看。第一条这个参数呢,我这个 问题、这个参数很简单,就是一个0,就是这个角度。一般的问题里头,这个参数可以多个,比如说我下头 还有一个环呢?就可能有两个θ,两个角度。这个不仅如此,我要描述一架飞机的话,可能是很多的角度
1 什么是分岔 主持人：好，请武教授马上给咱们带来一场精彩的学术报告，深入浅出的学术报告，叫做“什么是分岔”。 好，有请。 武际可：我今天讲的是关于分岔的问题。分岔在英文叫做 Bifurcation，这个词在中文里头大概有六种 翻译，我看到的有六种翻译，每个含义用词都用得不一样，有的叫分叉、有的叫分枝、还有的叫分歧等等。 这个概念最近几十年大概在自然科学甚至于社会科学、经济学等等领域用得很多，比如说化学、物理、力学、 数学都很多，还有气象学等等吧，说明它比较重要。那么，这个名词不像刚才主持人说的道路分岔那么具体， 它是一个抽象概念，为了说明这个概念，我们这样来讲，先从一个例子开始，讲一个例子。这是一个圆，上 头有一个光滑的环，对吧？我把它这个大圆垂直放的时候，那么这个小环总是在下头平衡，大家看清楚了， 我怎么放它都是平衡的，最后滑在下头，现在我让这个环转起来，对吧，这样转，我给这个圆环这样一个角 速度，转起来以后，如果我这个角速度很小，大家看了，这个小环呢，还是呆在这个底下，这个位置总是一 个平衡位置，等我转的这个角速度大到某一定的程度，大家注意看，现在这个环就跑在另外一个地方平衡， 如果我们取一个角度表示这个小环的位置的话，那么我们就可以列出一个平衡方程来，这个很简单，这个小 环受三个力，一个是离心力、一个是重力、还有一个大环给它的约束反力，这两个力的正切应该就等于这个 反力，所以那个方程很容易写出来。写出这个方程，带星号的那个就是这个平衡方程，两个惯性力和重力之 比就等于那个约束反力，约束反力的角度，这个方程把它上头的质量和下头的质量消掉以后就得到下头，一 分解因式正好是两个，一个是 sinθ；另外一个就是括弧里头这个，这个方程有两个解，一个解就是上头的 θ等于零，就是永远这个角度等于零，放在这个位置是一个平衡点，还有一个解呢，是下头那个表示的这个 解，下头那个式子表示呢，就是我这个角速度使得括弧里头的那一项变成一的时候，θ就开始，从零开始要 往下飞了，在一定的角速度就离开原来的平衡点，然后跑到另外一个平衡点了。我们看到这个问题的解呢， 实际上是两个解，两支，两支都随着Ω变，一支就是θ永远等于零，就是这一支，另外一支是那一支，这边 是对称的，另外一边我没有画，这两支的焦点 T 就是分岔点，我们就说的分岔点。这个问题是一个生活当中 我们应该看到的最常见的一个分岔问题，那么我们就问，一个分岔问题需要一些什么条件呢？我把它归结有 需要三个条件：第一个条件，要有一个参数系统描述这个客观系统的状态，我们这个例子里头就是这个角度， 这个角度不同，平衡的位置就不同；第二个，要有一个描述这个系统运动的参数，我刚才说的这个Ω，这个 角速度，要有这么一个参数；第三个，要有一个平衡方程，要有控制整个系统发展过程的一个平衡方程。 刚才我们看到的带星号的那个方程就是这个方程。那么我们一条一条来看。第一条这个参数呢，我这个 问题、这个参数很简单，就是一个θ，就是这个角度。一般的问题里头，这个参数可以多个，比如说我下头 还有一个环呢？就可能有两个θ，两个角度。这个不仅如此，我要描述一架飞机的话，可能是很多的角度
甚至于好多个函数,所以描述状态不仅仅是一组数、若干个数,还可能是要求若干个函数,所以一旦这个描 述的参数定了以后呢,再复杂的系统我们也应该可以描述,所以我们说,只要有了足够复杂的系统,我们从 天上的白云、海里的波浪、化学反应罐里头的反应过程还是股票市场上的起伏,这个都可以描述。第二,要 有一个表征过程的参量,刚才说的是Ω,这个角度,角速度。这个长度、速度、加速度,还有温度、压力都 可以作为这种参数。第三,要有一组方程,刚才我们说的这个方程,相对简单,只有一个方程就够了,在实 际问题要有很多个方程,有的方程连立起来可能要上千上万,甚至于有的要遇到微分方程,就是函数满足的 方程,但是有一条,这些方程必须是非线性的,也就是说光由一次项组成的这些方程是没有分岔的,必须要 有非线性的项,所以我们经常说,分岔也是一个实质的非线性问题 我们注意到,也不是所有的非线性问题都有分岔,比如说我们画一个弯曲的线,这条线是非线性的,直 线才是线性的,但是它没有分岔,必须有两支交叉在一起的才有分岔,所以这样一个情况呢,但是,我刚才 说弯的没有分岔的这个虽然是非线性,它任何一小段可以拿直线来代替,拿线性的来代替,分岔不行,在分 岔点附近是不可能把它拿直线来代替的,所以我们说,分岔是一个实质的非线性问题,它根本在无限小的范 围内也不可能把它线性化。所以,总结前头我们说的这段话呢,就是说第一,分岔是一类问题当中有多个性 质上完全不同的解,交叉在一起,这个交叉点就是所谓的分岔点;第二,分岔一般伴随有事物性质上的突变, 种状态变为性质上差别很大的另外一种状态;第三,分岔是实质的非线性问题。我们来看,分岔实际上是 种自然界和社会上的普遍的现象。最常见的,我们看到有这么两类。第一类,所谓平衡解分岔或者是静分 岔,我们来举一些例子,最常见的一类例子,就是我拿这根尺子来作为一个柱子,我拿手压它,我加了一个 力,现在我已经加了力了,这个柱子还是直的,我加到某一个力的时候,这个柱子不仅由原来直的这个平衡 位置出来另外一个平衡位置,这个力我们叫临界压力,达到这个力的时候,这个弯曲迅速的加大。我们实际 的相当多的结构,都是有这样的受压的部件,那么这些部件,任何一个部件如果超过了我刚才说的临界压力 这个结构就有可能整个的垮掉,所以这就是从直立到另外一种状态的一个分岔,两个完全不同的分岔。下头 我举两个例子,最近就拿去年的,我们国内发生的两个事故:一个事故就是在湖南耒阳电厂,有一个72米 120米这样一个堆煤的仓,这个仓用了五年以后突然垮掉,原因就是因为它的构建在雨水之下然后腐蚀,腐 蚀到超过它的临界载荷,然后垮掉了。第二个例子是去年11月28日,在深圳正在修一个盐坝高速公路起点 髙架桥,在11月⑧8日晩上9时左右突然坍塌,原因就是它支脚手架的一根支柱超过它的临界载荷,设计人 员不小心,造成69名工人随墙面一起下去,大概重伤10人,23人轻伤。这是平衡解的两个例子,平衡解的 分岔我们还有,在物理当中,不仅力学当中,在物理当中,从上一世纪就发现物质是由气、固、液三态所组 成的,比如说水从液态到气态,摄氏100度,100度就是一个临界温度,那么从一个平衡态就转到另外一个 平衡态,这个交界的点就是一个分岔点,在磁学、电学里头都有这样的平衡解的分岔,因此不只是力学,物 理、化学都有 下头我们来讨论一下,所谓Hopf的例子,人们常熟悉的拿口琴,我们吹口琴的时候,我拿一个音来看
2 甚至于好多个函数，所以描述状态不仅仅是一组数、若干个数，还可能是要求若干个函数，所以一旦这个描 述的参数定了以后呢，再复杂的系统我们也应该可以描述，所以我们说，只要有了足够复杂的系统，我们从 天上的白云、海里的波浪、化学反应罐里头的反应过程还是股票市场上的起伏，这个都可以描述。第二，要 有一个表征过程的参量，刚才说的是Ω，这个角度，角速度。这个长度、速度、加速度，还有温度、压力都 可以作为这种参数。第三，要有一组方程，刚才我们说的这个方程，相对简单，只有一个方程就够了，在实 际问题要有很多个方程，有的方程连立起来可能要上千上万，甚至于有的要遇到微分方程，就是函数满足的 方程，但是有一条，这些方程必须是非线性的，也就是说光由一次项组成的这些方程是没有分岔的，必须要 有非线性的项，所以我们经常说，分岔也是一个实质的非线性问题。 我们注意到，也不是所有的非线性问题都有分岔，比如说我们画一个弯曲的线，这条线是非线性的，直 线才是线性的，但是它没有分岔，必须有两支交叉在一起的才有分岔，所以这样一个情况呢，但是，我刚才 说弯的没有分岔的这个虽然是非线性，它任何一小段可以拿直线来代替，拿线性的来代替，分岔不行，在分 岔点附近是不可能把它拿直线来代替的，所以我们说，分岔是一个实质的非线性问题，它根本在无限小的范 围内也不可能把它线性化。所以，总结前头我们说的这段话呢，就是说第一，分岔是一类问题当中有多个性 质上完全不同的解，交叉在一起，这个交叉点就是所谓的分岔点；第二，分岔一般伴随有事物性质上的突变， 一种状态变为性质上差别很大的另外一种状态；第三，分岔是实质的非线性问题。我们来看，分岔实际上是 一种自然界和社会上的普遍的现象。最常见的，我们看到有这么两类。第一类，所谓平衡解分岔或者是静分 岔，我们来举一些例子，最常见的一类例子，就是我拿这根尺子来作为一个柱子，我拿手压它，我加了一个 力，现在我已经加了力了，这个柱子还是直的，我加到某一个力的时候，这个柱子不仅由原来直的这个平衡 位置出来另外一个平衡位置，这个力我们叫临界压力，达到这个力的时候，这个弯曲迅速的加大。我们实际 的相当多的结构，都是有这样的受压的部件，那么这些部件，任何一个部件如果超过了我刚才说的临界压力， 这个结构就有可能整个的垮掉，所以这就是从直立到另外一种状态的一个分岔，两个完全不同的分岔。下头 我举两个例子，最近就拿去年的，我们国内发生的两个事故：一个事故就是在湖南耒阳电厂，有一个 72 米× 120 米这样一个堆煤的仓，这个仓用了五年以后突然垮掉，原因就是因为它的构建在雨水之下然后腐蚀，腐 蚀到超过它的临界载荷，然后垮掉了。第二个例子是去年 11 月 28 日，在深圳正在修一个盐坝高速公路起点 高架桥，在 11 月 28 日晚上 9 时左右突然坍塌，原因就是它支脚手架的一根支柱超过它的临界载荷，设计人 员不小心，造成 69 名工人随墙面一起下去，大概重伤 10 人，23 人轻伤。这是平衡解的两个例子，平衡解的 分岔我们还有，在物理当中，不仅力学当中，在物理当中，从上一世纪就发现物质是由气、固、液三态所组 成的，比如说水从液态到气态，摄氏 100 度，100 度就是一个临界温度，那么从一个平衡态就转到另外一个 平衡态，这个交界的点就是一个分岔点，在磁学、电学里头都有这样的平衡解的分岔，因此不只是力学，物 理、化学都有。 下头我们来讨论一下，所谓 Hopf 的例子，人们常熟悉的拿口琴，我们吹口琴的时候，我拿一个音来看
在这个洞里头,如果吹得口风很小呢,你听不到声音,这个簧片不振动,达到一个临界的风速的时候,这个 簧片就开始振荡,发出周期性的运动,发声,这个就是一个典型的Hopf分岔。那么,我们通常看到的乐器, 风琴、唢呐、单簧管、双簧管、号、笛等等都是利用这个Hopf分岔这个原理来制作的,都是从不发声到发 声,利用它发声的这个段,这样一个运动状态,发声的就是一个周期运动的一个状态,刚才是用风来比喻, 进一步讲,激发振动的如果不是风,而是摩擦力,那么我们的摩擦力或者水力也会发现,比如说我们拉小提 琴的弓和弦摩擦就是一个典型的Hopf分岔,如果我这个弓上头没有,松香很少,摩擦力很小,那么你就发现 这个弓就可以滑过来,根本不发声,那么擦了一些松香,松香是增加摩擦力的,增加一点摩擦力,摩擦力作 为我们控制系统的参数,到一定的程度就发声。当然了,Hopf分岔并不只是可以用来制作乐器,带来快乐, 也会带来烦恼和灾难,几乎所有的噪音,比如树叶子被风吹得沙沙声、机器的隆隆声、摩擦噪音,我们通常 老太太刮锅用的那种刺耳的那个声音就是摩擦噪音,水管子流水的时候,那个嗡嗡声都是和Hopf分岔有关的。 那么,在二十世纪三四十年代,航空当中有一种可怕的空难,叫做颤振,飞机飞到某一个临界速度的时候 飞机翅膀就会象刚才说的口琴的簧片一样的振起来,那个振动有的时候是发散的,几秒钟以内飞机翅膀就可 以振掉,然后造成机毁人亡,这样的空难出了很多起,后来由于人们硏究,逐渐的控制了,目前的飞机很少 有这种事故 在1940年,美国西北部就是叫华盛顿州建成了一座吊桥,长853.4米的 Tacoma(塔科姆)桥,在 Tacoma (塔科姆)那个海湾上的,建成以后不久,大概四个月,由于同年11月7日的一场不大的风,每秒19米 这个风很小,大概八级风吧,引起了振幅接近九米的颤振,正负九米相当于三层楼高,普通住房的三层楼高, 在这样大振幅的振荡之下,不一会儿这个桥就塌毁了,这就是当时实际的振荡,最后倒塌了。这是Hopf分岔 不仅会产生乐器、噪音,飞机的颤振、桥的颤振。还有一种,大概在生态上头硏究当中有一种模型叫做“捕 食者模型”,假如有两种生物共在一个池子里头,比方说我们说是大鱼和小鱼,大鱼吃小鱼,那么大鱼多了 时候呢,小鱼就很快的被吃掉了,小鱼就没有了,没有了呢,大鱼就饿死了,大鱼就减少了,大鱼减少到 定程度呢,小鱼失掉了它的天敌,于是小鱼就拼命繁殖,小鱼繁殖小鱼又增加,它并不经常是大鱼、小鱼处 于一个平衡点,而是经常是处于一种大鱼、小鱼此消彼涨的这样一个振荡状态,这个状态也是一个典型的分 岔,Hopf分岔,1918年意大利数学家把这个最早研究了两种生物的捕食者模型,当然了,现在生态学发展了, 研究整个的生物链,一个生物链的一个彼此消涨的情况 同样,股票市场的涨落、经济危机的周期性的发生、沙漠当中沙丘的周期性的推移、心脏的周期性的跳 动等等,都可以看作是一种分岔现象,也是一种Hopf分岔。1900年法国人做了一个流体实验,在一块金属 板上放了一个液体,下头加热这块金属板,开始的时候,整个的液体不动,加热到一定的程度以后,这个液 体就做一个小包圈、一个小包圈螺旋式的运动,也是一种周期运动,但是除了时间上的周期以外,还有空间 上的周期,这个在气象上很重要,我们平常看到太阳晒得,就像这样的天气,晒到下午地面热的时候,加热 这个空气,空气就产生局部的环流,单地的局部的环流就产生局部的风,你骑车进城的时候你就会发现
3 在这个洞里头，如果吹得口风很小呢，你听不到声音，这个簧片不振动，达到一个临界的风速的时候，这个 簧片就开始振荡，发出周期性的运动，发声，这个就是一个典型的 Hopf 分岔。那么，我们通常看到的乐器， 风琴、唢呐、单簧管、双簧管、号、笛等等都是利用这个 Hopf 分岔这个原理来制作的，都是从不发声到发 声，利用它发声的这个段，这样一个运动状态，发声的就是一个周期运动的一个状态，刚才是用风来比喻， 进一步讲，激发振动的如果不是风，而是摩擦力，那么我们的摩擦力或者水力也会发现，比如说我们拉小提 琴的弓和弦摩擦就是一个典型的 Hopf 分岔，如果我这个弓上头没有，松香很少，摩擦力很小，那么你就发现 这个弓就可以滑过来，根本不发声，那么擦了一些松香，松香是增加摩擦力的，增加一点摩擦力，摩擦力作 为我们控制系统的参数，到一定的程度就发声。当然了，Hopf 分岔并不只是可以用来制作乐器，带来快乐， 也会带来烦恼和灾难，几乎所有的噪音，比如树叶子被风吹得沙沙声、机器的隆隆声、摩擦噪音，我们通常 老太太刮锅用的那种刺耳的那个声音就是摩擦噪音，水管子流水的时候，那个嗡嗡声都是和 Hopf 分岔有关的。 那么，在二十世纪三四十年代，航空当中有一种可怕的空难，叫做颤振，飞机飞到某一个临界速度的时候， 飞机翅膀就会象刚才说的口琴的簧片一样的振起来，那个振动有的时候是发散的，几秒钟以内飞机翅膀就可 以振掉，然后造成机毁人亡，这样的空难出了很多起，后来由于人们研究，逐渐的控制了，目前的飞机很少 有这种事故。 在 1940 年，美国西北部就是叫华盛顿州建成了一座吊桥，长 853.4 米的 Tacoma（塔科姆）桥，在 Tacoma （塔科姆）那个海湾上的，建成以后不久，大概四个月，由于同年 11 月 7 日的一场不大的风，每秒 19 米， 这个风很小，大概八级风吧，引起了振幅接近九米的颤振，正负九米相当于三层楼高，普通住房的三层楼高， 在这样大振幅的振荡之下，不一会儿这个桥就塌毁了，这就是当时实际的振荡，最后倒塌了。这是 Hopf 分岔 不仅会产生乐器、噪音，飞机的颤振、桥的颤振。还有一种，大概在生态上头研究当中有一种模型叫做“捕 食者模型”，假如有两种生物共在一个池子里头，比方说我们说是大鱼和小鱼，大鱼吃小鱼，那么大鱼多了的 时候呢，小鱼就很快的被吃掉了，小鱼就没有了，没有了呢，大鱼就饿死了，大鱼就减少了，大鱼减少到一 定程度呢，小鱼失掉了它的天敌，于是小鱼就拼命繁殖，小鱼繁殖小鱼又增加，它并不经常是大鱼、小鱼处 于一个平衡点，而是经常是处于一种大鱼、小鱼此消彼涨的这样一个振荡状态，这个状态也是一个典型的分 岔，Hopf 分岔，1918 年意大利数学家把这个最早研究了两种生物的捕食者模型，当然了，现在生态学发展了， 研究整个的生物链，一个生物链的一个彼此消涨的情况。 同样，股票市场的涨落、经济危机的周期性的发生、沙漠当中沙丘的周期性的推移、心脏的周期性的跳 动等等，都可以看作是一种分岔现象，也是一种 Hopf 分岔。1900 年法国人做了一个流体实验，在一块金属 板上放了一个液体，下头加热这块金属板，开始的时候，整个的液体不动，加热到一定的程度以后，这个液 体就做一个小包圈、一个小包圈螺旋式的运动，也是一种周期运动，但是除了时间上的周期以外，还有空间 上的周期，这个在气象上很重要，我们平常看到太阳晒得，就像这样的天气，晒到下午地面热的时候，加热 这个空气，空气就产生局部的环流，单地的局部的环流就产生局部的风，你骑车进城的时候你就会发现，一
会儿顶风、一会儿顺风,这样的正好就是这种现象的一个表示,这也是一种典型的Hopf分岔,不过呢,它是 在流体,实际上这是在一个连续体当中的一个Hopf分岔 我们讲了这些现象,我可以要举多少例子几乎就可以举多少例子,说明分岔是自然界和社会中的相当常 见的普遍现象:第二,在不同领域中,对分岔有不同的名称,在我们力学当中,比如叫临界载荷,我刚才说 了;在物理当中叫临界温度、临界参数,有的叫转折点、有的叫阈值,有的叫什么激励参数、什么危险限等 等,这些都是不一样的。最后讲了这些例子和这个情况以后呢,我们想总结一下,现在分岔研究的意义到底 是在于什么呢? 第一点,我认为分岔的研究沟通了不同领域,既然刚才说了,从乐器到噪声到飞机一直到股票都可以有 分岔,那么于是很多学科共同来探讨分岔的共同规律,现在有的人就特别是形成一门叫做“非线性科学”,非 线性科学的相当一部分工作就是要找分岔的规律 第二就是对具体的某一个学科来说,研究具体的分岔,准确的计算使我们把握这种问题的变化规律或者 控制这种现象非常重要。 第三点,分岔在哲学上是对于确定论的一个否定,我们知道,现在分岔、再分岔可以产生混沌,混沌是 会导致系统内在的随机性,它对以前的这种确定了的观点是一个否定。目前对于分岔的研究的情况,一方面 来自各个具体的部门来研究这个领域当中的特殊问题的分岔:另一方面把分岔作为各个领域共同的问题来研 究统一的规律:第三,由于分岔要遇到非常复杂的非线性问题,因此要用计算机,所以用计算非线性问题的 分岔,实际上是一个非常重要的研究发现 最后我想讲一下,讲了这么多的结论,第一,分岔是系统两种性质上不同状态的转变点;第二,掌握系 统的分岔点对把握系统的性质和行为非常重要,可以体会;第三,分岔问题是实质的非线性问题;第四,分 岔是非常普遍的现象;第五,常见的分岔是静分岔和Hopf分岔两类,当然了,除了这两类之外还有更为复杂 的分岔,有兴趣的人可以进一步深入研究
4 会儿顶风、一会儿顺风，这样的正好就是这种现象的一个表示，这也是一种典型的 Hopf 分岔，不过呢，它是 在流体，实际上这是在一个连续体当中的一个 Hopf 分岔。 我们讲了这些现象，我可以要举多少例子几乎就可以举多少例子，说明分岔是自然界和社会中的相当常 见的普遍现象；第二，在不同领域中，对分岔有不同的名称，在我们力学当中，比如叫临界载荷，我刚才说 了；在物理当中叫临界温度、临界参数，有的叫转折点、有的叫阈值，有的叫什么激励参数、什么危险限等 等，这些都是不一样的。最后讲了这些例子和这个情况以后呢，我们想总结一下，现在分岔研究的意义到底 是在于什么呢？ 第一点，我认为分岔的研究沟通了不同领域，既然刚才说了，从乐器到噪声到飞机一直到股票都可以有 分岔，那么于是很多学科共同来探讨分岔的共同规律，现在有的人就特别是形成一门叫做“非线性科学”，非 线性科学的相当一部分工作就是要找分岔的规律。 第二就是对具体的某一个学科来说，研究具体的分岔，准确的计算使我们把握这种问题的变化规律或者 控制这种现象非常重要。 第三点，分岔在哲学上是对于确定论的一个否定，我们知道，现在分岔、再分岔可以产生混沌，混沌是 会导致系统内在的随机性，它对以前的这种确定了的观点是一个否定。目前对于分岔的研究的情况，一方面 来自各个具体的部门来研究这个领域当中的特殊问题的分岔；另一方面把分岔作为各个领域共同的问题来研 究统一的规律；第三，由于分岔要遇到非常复杂的非线性问题，因此要用计算机，所以用计算非线性问题的 分岔，实际上是一个非常重要的研究发现。 最后我想讲一下，讲了这么多的结论，第一，分岔是系统两种性质上不同状态的转变点；第二，掌握系 统的分岔点对把握系统的性质和行为非常重要，可以体会；第三，分岔问题是实质的非线性问题；第四，分 岔是非常普遍的现象；第五，常见的分岔是静分岔和 Hopf 分岔两类，当然了，除了这两类之外还有更为复杂 的分岔，有兴趣的人可以进一步深入研究
