第十章。波动和声 Chapter 10 Wayes& Sounds) 前言 波的基本概念 平面简谐波方程 波动方程与波速 P均能流密度·声强与声压 波的叠加和干涉驻波 多普勒效应
第十章 波动和声 （Chapter 10 Waves & Sounds） 前言 波的基本概念 平面简谐波方程 波动方程与波速 平均能流密度 • 声强与声压 波的叠加和干涉 • 驻波 多普勒效应
§1前言 本章的基本内容及研究方法 波动是很普遍的现象,在我们周围常见的波有:水波、声、 光、无线电波,还有宇宙深处许多天体的有韵律的辐射也是波。 人类就生活在这各种各样波的“海洋”之中。近代物理证明, 波动不仅存在于宏观世界中,甚至对于单个的电子、质子、中 子等微观粒子而言,它们也具有波的性质,称之为物质波。不 过,物质波与宏观世界中的波有完全不同的本质。尽管各种类 型波的性质不同,但它们有相似的波动微分方程和波函数,且 都具有波动特有的现象,如折射、反射、平涉和衍射等 本章的内容可分为三个主要部分:第一,以波动本质 位相依次传播为中心的有关波动的基本概念,平面简谐波的运 动学方程的建立及方程的物理意义;第二,波的能量;第三, 波的叠加和驻波,另外介绍了多普勒效应。全章的重点是波动
§1 前 言 一、本章的基本内容及研究方法 波动是很普遍的现象，在我们周围常见的波有：水波、声、 光、无线电波，还有宇宙深处许多天体的有韵律的辐射也是波。 人类就生活在这各种各样波的“海洋”之中。近代物理证明， 波动不仅存在于宏观世界中，甚至对于单个的电子、质子、中 子等微观粒子而言，它们也具有波的性质，称之为物质波。不 过，物质波与宏观世界中的波有完全不同的本质。尽管各种类 型波的性质不同，但它们有相似的波动微分方程和波函数，且 都具有波动特有的现象，如折射、反射、平涉和衍射等。 本章的内容可分为三个主要部分：第一，以波动本质—— 位相依次传播为中心的有关波动的基本概念，平面简谐波的运 动学方程的建立及方程的物理意义；第二，波的能量；第三， 波的叠加和驻波，另外介绍了多普勒效应。全章的重点是波动
的物理图象,平面简谐波运动学方程是建立在位相传播这个物 理图象上的,不理解位相传播是波动的本质,就很难真正领会 波的运动学方程及其物理意义,波动的能量特征、波的叠加和 驻波的特点都离不开位相和位相传播这个概念,我们研究机械 波的目的是通过对具有直观性的机械波的研究,认识波动的基 本规律。这对于我们研究其它形式的波是十分重要的 二、本章的基本要求 1、理解波动的本质及其物理图象,建立正确的波动概念; 2、掌握描述波动的基本物理量(波长、波速、波的频率)的 物理意义和相互关系; 3、掌握平面简谐波的概念及其方程,理解波的空间周期性和 时间周期性的含义; 4、了解波的能量传播特征及能量密度和能流密度的物理意义 及数学表达式;
的物理图象，平面简谐波运动学方程是建立在位相传播这个物 理图象上的，不理解位相传播是波动的本质，就很难真正领会 波的运动学方程及其物理意义，波动的能量特征、波的叠加和 驻波的特点都离不开位相和位相传播这个概念，我们研究机械 波的目的是通过对具有直观性的机械波的研究，认识波动的基 本规律。这对于我们研究其它形式的波是十分重要的。 二、本章的基本要求 1、理解波动的本质及其物理图象，建立正确的波动概念； 2、掌握描述波动的基本物理量（波长、波速、波的频率）的 物理意义和相互关系； 3、掌握平面简谐波的概念及其方程，理解波的空间周期性和 时间周期性的含义； 4、了解波的能量传播特征及能量密度和能流密度的物理意义 及数学表达式；
5、了解波的叠加原理及波干涉的一般概念; 6、掌握驻波产生的条件,理解驻波方程的导出及驻波的特点; 7、了解机械波的多普勒效应及其产生原因 三、本章的思考题及练习题 思考题:教材330-331页; 2.练习题:102510.5.110.5310.5.510.72
5、了解波的叠加原理及波干涉的一般概念； 6、掌握驻波产生的条件，理解驻波方程的导出及驻波的特点； 7、了解机械波的多普勒效应及其产生原因。 三、本章的思考题及练习题 1. 思考题：教材330-331页； 2. 练习题：10.2.5 10.5.1 10.5.3 10.5.5 10.7.2
§2波的基本概念 、波是振动状态的传播 波是与振动密切相关性的。在宏观上,可将气体、液体或 固体当作连续体,其体内各个相邻的质元间以弹性力维系着。 当任一质元在外界作用下偏离平衡位置时,邻近质元作用的弹 性回复力就会使它发生振动;同时,这些邻近质元又受到该质 元的弹性力作用,也会振动起来,于是振动就会由近及远、由 此及彼地传播开去。这种机械振动在物质中的传播称为机械波。 各个质元仅在各自的平衡位置附近振动,传播开去的只是振动 或振动状态。于位相可以反映振动状态,所以也可以说波动 是位相的传播,顺着波传播的指向看过去,位相依后,这 反映了振动的传播需要时间,振动的传播速度叫作波速,不要 把波速与质点的振动速度混淆起来! 形成机械波有两个条件:炭源、介质。但光波可以在真空
§2 波的基本概念 一、波是振动状态的传播 波是与振动密切相关性的。在宏观上，可将气体、液体或 固体当作连续体，其体内各个相邻的质元间以弹性力维系着。 当任一质元在外界作用下偏离平衡位置时，邻近质元作用的弹 性回复力就会使它发生振动；同时，这些邻近质元又受到该质 元的弹性力作用，也会振动起来，于是振动就会由近及远、由 此及彼地传播开去。这种机械振动在物质中的传播称为机械波。 各个质元仅在各自的平衡位置附近振动，传播开去的只是振动 或振动状态。由于位相可以反映振动状态，所以也可以说波动 是位相的传播，顺着波传播的指向看过去，位相依次滞后，这 反映了振动的传播需要时间，振动的传播速度叫作波速，不要 把波速与质点的振动速度混淆起来！ 形成机械波有两个条件：波源、介质。但光波可以在真空
中传播。 二、多种多样的波 按物理性质分:机械波、电磁波等 ●按波的传播方冋和振动方冋间的关系分:横波、纵波、混 合波(水波及地震波);在气、液、固介质内部能形成纵波, 而横波通常是在固体内部传播的,也能沿液体表面传播。 ●按照传播的空间维数分:一维(沿弦的波)、二维的(表 面波)和三维的 按波源扰动的时间分:脉冲波、持续波; 按波传播过程中波面形状分:平面波、球面波、柱面波等 三、描述浪传播的几个物理量 1、波阵面(波前):在某一时刻,振动到达的各点构成的面
中传播。 二、多种多样的波 ● 按物理性质分：机械波、电磁波等。 ● 按波的传播方向和振动方向间的关系分：横波、纵波、混 合波（水波及地震波）；在气、液、固介质内部能形成纵波， 而横波通常是在固体内部传播的，也能沿液体表面传播。 ● 按照传播的空间维数分：一维（沿弦的波）、二维的（表 面波）和三维的； ● 按波源扰动的时间分：脉冲波、持续波； ● 按波传播过程中波面形状分：平面波、球面波、柱面波等。 三、描述波传播的几个物理量 1、波阵面（波前）：在某一时刻，振动到达的各点构成的面
(位相相同); 2、波射线:波的传播方向,用带有箭头的线表示。在各向同 性的媒质中,波线总是与波阵面垂直; 3、波长:同一波线上两个相邻的相位差为2π,即振动状态相 同的相邻两质点之间的距离,通常用λ表示。波长反映了波的 空间周期性,即每经过一个波长,媒质中的各点的振动状态重 复一次; 4、周期:波传过一个波长的时间,或一个完整的波通过波线 上某点所需的时间,用T表示。周期反映了波的时间周期性, 即每经过一个周期,媒质中各点的振动状态重复一次; 5、波速:振动状态在媒质中传播的速度,用V或表示。由于 振动状态由相位决定,所以波速也可以说是相位在媒质中的传 播速度,因此又可称为相速
（位相相同）； 2、波射线：波的传播方向，用带有箭头的线表示。在各向同 性的媒质中，波线总是与波阵面垂直； 3、波长：同一波线上两个相邻的相位差为 2π，即振动状态相 同的相邻两质点之间的距离，通常用λ表示。波长反映了波的 空间周期性，即每经过一个波长，媒质中的各点的振动状态重 复一次； 4、周期：波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过波线 上某点所需的时间，用 T 表示。周期反映了波的时间周期性， 即每经过一个周期，媒质中各点的振动状态重复一次； 5、波速：振动状态在媒质中传播的速度，用 或 表示。由于 振动状态由相位决定，所以波速也可以说是相位在媒质中的传 播速度，因此又可称为相速。 = = T v v u
由于= 3所以27个式中2兀表示2n长度 长度上波的数目,称为波数,有的称它为角波数,而波数为1/4 即单位长度内完整的波的数目,用G或卩表示。也可以看作 是在波的传播方向上每经过一个单位距离后波位相的改变量, 单位是m1,它在波动中是一个很有用的物理量
由于 所以 式中 表示 长度 , 2 2 , 2 , 2 = = = k = k v v 长度上波的数目，称为波数，有的称它为角波数，而波数为 即单位长度内完整的波的数目，用 或 表示。也可以看作 是在波的传播方向上每经过一个单位距离后波位相的改变量， 单位是 m-1，它在波动中是一个很有用的物理量。 1/ v ~
§3平面简谐波方程 若平面波的波源作简谐振动,则在波已传到的区域中各质 元都按波源振动的频率作简谱振动,这样的波就称为平面 谐泼。可以证明,其它复杂的波可视为平面简谐波的叠加。 思考问题的方法:因为同一波面上各质元的位相相同,所以要 描述某一波面上各质元的振动状态,只需任意选择其上一点作 为代表,描述这个“代表点”的振动状态,就是描述了波面上 所有质元的运动。波射线上的各点,可以看作是各波面的“代 表点”。若能描述波射线上各点的振动状态,也就是描述了媒 质中各质元的运动,用这样的方法,把描述空间各点的运动转 变为讨论一直线上各点的运动,问题得到了简化。 问题:能否用一个式子表达出波线上全部质元的振动。现在就 无吸收媒质(A不变)中平面简谐波情形来讨论这一问题
§3 平面简谐波方程 若平面波的波源作简谐振动，则在波已传到的区域中各质 元都按波源振动的频率作简谐振动， 这样的波就称为平面简 谐波。可以证明，其它复杂的波可视为平面简谐波的叠加。 思考问题的方法：因为同一波面上各质元的位相相同，所以要 描述某一波面上各质元的振动状态，只需任意选择其上一点作 为代表，描述这个“代表点”的振动状态，就是描述了波面上 所有质元的运动。波射线上的各点，可以看作是各波面的“代 表点”。若能描述波射线上各点的振动状态，也就是描述了媒 质中各质元的运动，用这样的方法，把描述空间各点的运动转 变为讨论一直线上各点的运动，问题得到了简化。 问题：能否用一个式子表达出波线上全部质元的振动。现在就 无吸收媒质（A不变）中平面简谐波情形来讨论这一问题
具体过程:取x轴沿某一波射线,只要能写出同时表达轴上各 点振动的表达式,就是沿轴的这一条波线上的波的表达式。 下面根据振动状态(相位)以波速ν沿x轴传播的观点讨论 条波线上的简谐波。 设波向x轴正方向传播,取平衡位置在坐标原点O处的质 元作参考。设它在时刻t的振动位移为(振动方程) y= A cos t(初相a=0)
具体过程：取 x 轴沿某一波射线，只要能写出同时表达轴上各 点振动的表达式，就是沿轴的这一条波线上的波的表达式。 1 2 P1 P2 O x 下面根据振动状态（相位）以波速 v 沿 x 轴传播的观点讨论一 条波线上的简谐波。 设波向 x 轴正方向传播，取平衡位置在坐标原点O 处的质 元作参考。设它在时刻 t 的振动位移为（振动方程） cos ( 0) y0 = A t 初相 = x