第二学期第十九次课 9.1.7用形式微商判断多项式是否有重因式 定义9.10设f(x)=a0x”+a1x1+…+an1x+an∈K[x],定义 ∫(x)=maox-+(n-1)a1x2+…+an1∈K[x], 称∫(x)为f(x)的一阶形式微商。 设f(x)的k-1阶形式微商已定义,记作f(x)则定义它的k阶形式微商f(x)为 f=(x)的一阶形式微商:f(x)=(-(x)。另外我们约定fo(x)=f(x) 命题设f(x)∈K[x],如果K[x内的不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式,则 p(x)是∫(x)的k-1重因式 证明按假设有f(x)=p(x)q(x),且p(x)q(x),于是(p,q)=1。于是有 f(x)=kp(x)p(x)q(x)+p(x) q(x) p(x)-(kp(x)q(x)+ p(x)q(x)) 故p(x)f(x)。如果有p(x)|f(x),即f(x)=p(x)q1(x),带入上式,消去p(x), kp(x)q(x)+p(x)q(x)=p(x)q,(x) 从上式推出p(x)|(kp(x)q(x),而(P,q)=1,则p(x)|((x)),但degk(x)<degp(x) 矛盾。故p(x)|f(x),这表明p(x)是(x)的k-1重因式 由这个命题,我们可以得到下面两个有用的推论 推论1不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式的充分必要条件是 p(x)f(x)(=0,1,,k-1),但p(x)|f(x)。 推论2在∫(x)∈K[x](f(x)≠0)的素因式标准分解式中仅出现不可约多项式的一次方 幂的充分必要条件是 (f(x),f(x))=1 918模多项式m(x)同余的定义 定义911设/是K[x]的一个理想,如果f(x),g(x)∈K[x],且g(x)-f(x)∈I,第二学期第十九次课 9.1.7 用形式微商判断多项式是否有重因式 定义 9.10 设 1 0 1 1 ( ) [ ], n n n n f x a x a x a x a K x − = + + + +  − 定义 1 2 0 1 1 ( ) ( 1) [ ], n n n f x na x n a x a K x − − −  = + − + +  称 f x ( ) 为 f x( ) 的一阶形式微商。 设 f x( ) 的 k −1 阶形式微商已定义，记作 ( 1) ( ) k f x − 则定义它的 k 阶形式微商 ( ) ( ) k f x 为 ( 1) ( ) k f x − 的一阶形式微商： ( ) ( 1) ( ) ( ( )) k k f x f x − =  。另外我们约定 (0) f x f x ( ) ( ) = 。 命题 设 f x K x ( ) [ ]  ，如果 K x[ ] 内的不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的 k 重因式，则 p x( ) 是 f x ( ) 的 k −1 重因式。 证明 按假设有 ( ) ( ) ( ) k f x p x q x = ，且 p x q x ( ) | ( )  ，于是 ( , ) 1 p q = 。于是有 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) k k k f x kp x p x q x p x q x p x kp x q x p x q x − −    = + = +   故 1 ( ) | ( ) k p x f x −  。如果有 ( ) | ( ) k p x f x  ，即 1 ( ) ( ) ( ) k f x p x q x  = ，带入上式，消去 1 ( )k p x − ， 得 1 kp x q x p x q x p x q x   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = 从上式推出 p x kp x q x ( ) | ( ( )) ( )  ，而 ( , ) 1 p q = ，则 p x kp x ( ) | ( ( ))  ，但 deg ( ) deg ( ) kp x p x   矛盾。故 ( ) | ( ) k p x f x   ，这表明 p x( ) 是 f x ( ) 的 k −1 重因式。 由这个命题，我们可以得到下面两个有用的推论： 推 论 1 不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的 k 重因式的充分必要条件是 ( ) ( ) | ( )( 0,1,..., 1) i p x f x i k = − ，但 ( ) ( ) | ( ) k p x f x 。 推论 2 在 f x K x f x ( ) [ ]( ( ) 0)   的素因式标准分解式中仅出现不可约多项式的一次方 幂的充分必要条件是 ( ( ), ( )) 1 f x f x  = 9.1.8 模多项式 m(x) 同余的定义 定义 9.11 设 I 是 K x[ ] 的一个理想，如果 f x g x K x ( ), ( ) [ ]  ，且 g x f x I ( ) ( ) − 