则称g(x)与∫(x)模/同余,并记作g(x)=f(x)modD 现设/为非平凡理想,则I=(m(x),其中m(x)∈K[x且满足degm(x)≥1,这时 m(x)|(g(x)-f(x),写作g(x)≡f(x)(modm(x),称g(x)与f(x)模m(x)同余,易知 这是一个等价关系。 我们易证明以下性质: 1)若f(x)=g1(x)(modm(x),2(x)≡82(x)modm(x)2则 f(x)±f2(x)=(g1(x)±g2(x)modm(x) f(x(x)=g(x)g2(x)(mod m(x)) 2)若f(x)h(x)≡g(x)h(x)modm(x),又(h(x),m(x)=1 f(x)≡g(x)(modm(x))。 919中国剩余定理 引理设q1(x)…,4q,(x)是K[x内一组两两互素且次数≥1的多项式,则对任 i(1≤i≤r),存在多项式h(x)∈K[x],使 h2(x)=1(modq(x),h(x)≡0modq/(x)(≠ 证明对任一j≠i,有(q1(x)q,(x)=1,于是存在,(x),"(x)∈K[x,使 l4(x)q(x)+(x)q,(x)=1,令 h(x)=∏v 我们有h(x)≡0modq,(x)j≠1),而且 h(x)=∏(-19)=1+9=l(modq) 其中a为展开式中提出公因式q1(除第一项1之外)后所剩的多项式 定理(中国剩余定理)设q1(x)…q(x)是K[x内一组两两互素且次数≥1的多项 式,任给f(x)…f(x)∈K[x,必存在f(x)∈K[x,使 f(x)=f(x(mod q, x))(i=1, 2,,r) 证明根据引理,每个(≤i≤r),存在多项式h(x)∈K[x],满足则称 g x( ) 与 f x( ) 模 I 同余，并记作 g x f x I ( ) ( )(mod )  。 现设 I 为非平凡理想，则 I m x = ( ( )) ，其中 m x K x ( ) [ ]  且满足 deg ( ) 1 m x  ，这时 m x g x f x ( ) | ( ( ) ( )) − ，写作 g x f x m x ( ) ( )(mod ( ))  ，称 g x( ) 与 f x( ) 模 m(x) 同余，易知 这是一个等价关系。 我们易证明以下性质： 1）若 1 1 2 2 f x g x m x f x g x m x ( ) ( )(mod ( )), ( ) ( )(mod ( )),   则 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ( ) ( ))(mod ( )), ( ) ( ) ( ) ( )(mod ( )). f x f x g x g x m x f x f x g x g x m x     2 ） 若 f x h x g x h x m x ( ) ( ) ( ) ( )(mod ( ))  ， 又 ( ( ), ( )) 1 h x m x = ， 则 f x g x m x ( ) ( )(mod ( ))  。 9.1.9 中国剩余定理 引理 设 1 ( ),..., ( ) r q x q x 是 K x[ ] 内一组两两互素且次数  1 的多项式，则对任一 i i r (1 )   ，存在多项式 ( ) [ ] i h x K x  ，使 ( ) 1(mod ( )), ( ) 0(mod ( )) ) ( i i i j h x q x h x q x j i    证 明 对任一 j i  ， 有 ( ( ), ( )) 1 i j q x q x = ，于是存在 ( ), ( ) [ ] j j u x v x K x  ， 使 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 j i j j u x q x v x q x + = ，令 1 ( ) r i j j j j i h x v q =  =  我们有 ( ) 0(mod ( ))( ) i j h x q x j i   ，而且 ( ) (1 ) 1 1(mod ) i j i i i j i h x u q q u q  = − = +   ， 其中 u 为展开式中提出公因式 i q （除第一项 1 之外）后所剩的多项式。 定理（中国剩余定理） 设 1 ( ),..., ( ) r q x q x 是 K x[ ] 内一组两两互素且次数  1 的多项 式，任给 1 ( ), ( ) [ ] r f x f x K x  ，必存在 f x K x ( ) [ ]  ，使 ( ) ( )(mod ( )) ( 1,2,..., ) i i f x f x q x i r  = 证明 根据引理，每个 i i r (1 )   ，存在多项式 ( ) [ ] i h x K x  ，满足