习题2 习题2 1.设定义在复平面上的函数f似)满足1imf)=A,证明存在的某个邻域， 使得fe)在该邻域内有界. 2.设定义在复平面上的函数f2)在点0连续且f(o)≠0，证明存在0的一个 邻域，使得在这个邻域内f阳≠0. 3.设定义在复平面上的函数f)在z趋于无穷远点时，极限存在且不为零 (或极限为无穷远点)，证明存在正数R,使当以>R时，f阳)≠0. 4.指出下列函数f)在何处可导，并在可导点求其导数： 0f@=+ig、@@=3n+时，6f@-g台 5.讨论下列函数的解析性： (0fe)=x2-3y2+i(3y-y）.(2f)=2x2-i3y2 (3)f(z)=Rez. (4fa)= 6.证明若函数f)在上半平面内解析，则函数在下半平面内解析 7.证明若函数f包)在区域D内解析，并满足下列条件之一，则f阳)在D内是 常值函数. ()f2恒取实数. (2)V1是一个常数 (3)Refa)是一个常数 8.设f似在点解析且f)≠0，并记f似)=x)+i(x,，证明f作为 映射的Jacobi矩阵 wn-化g】 ac804185.雅可比，德国数学家 SK 2 75 SK 2 1. ½¬3E²°˛ºÍ f(z) ˜v lim z→z0 f(z) = Aßy²3 z0 ,áçß ¶ f(z) 3TçSk.© 2. ½¬3E²°˛ºÍ f(z) 3: z0 ÎYÖ f(z0) , 0ßy²3 z0 òá ç߶3˘áçS f(z) , 0 © 3. ½¬3E²°˛ºÍ f(z) 3 z ™uð:ûß4Å3Öÿè" £½4Åèð:§ßy²3Í R߶ |z| > R ûßf(z) , 0 . 4. ç—eºÍ f(z) 3¤?åßø3å:¶Ÿ͵ (1) f(z) = x 2 y + ixy2 , (2) f(z) = 3x 3 + i2y 3 , (3) f(z) = az + b cz + d . 5. ?ÿeºÍ)¤5µ (1) f(z) = x 3 − 3xy2 + i  3x 2 y − y 3  , (2) f(z) = 2x 3 − i3y 3 , (3) f(z) = Re z, (4) f(z) = |z|. 6. y²eºÍ f(z) 3˛å²°S)¤ßKºÍ f (z¯) 3eå²°S)¤© 7. y²eºÍ f(z) 3´ç D S)¤ßø˜ve^áÉòßK f(z) 3 D S¥ ~äºÍ© (1) f(z) ð¢Í© (2) | f(z)| ¥òá~Í© (3) Re f(z) ¥òá~Í© 8.  f(z) 3 z0 :)¤Ö f 0 (z0) , 0ßøP f(z) = u(x, y) + iv(x, y)ßy² f äè N Jacobi10› Jacobi (f) =   ux vx uy vy   10Jacobi (1804–1851)߉å'ßIÍÆ[©