第二章牛顿动力学方程(下) (参阅教材§4. §4.9.) 2.7.刚体动力学的基本概念(参阅教材§4.4.-§4.9.) 1.刚体是一种特殊的质点系,质点系动力学的研究方法也适用于刚体,把动力学的三大定理 应用到刚体,所得结果就是111页(4.1.)(4.2.)和(4.3.)。由于刚体的自由度是6,三大 定理有七个方程,取其中六个方程就足以决定刚体的运动了 鉴于刚体内部约束的特点(任意两质点间的距离保持不变),内力所作的功为零(证明见后), 动能定理(4.3)式已经得到化简;内势能一般取决于各对质点间的距离(而与相对的取向无关),因 而内势能也是常数,可以不予考虑(相当于调整计算势能的零点,使内势能为零)。 刚体内力所作功为零的证明: F=∑FF是质点j作用于质点的力,沿这两个质点的连线,满足F=-F 因而可表为F=A,(-),(n=列)于是可计算成对内力所做的元功 F+=F,一F=F,(4-4)=Fd( G-)(-)=列(G-)=0 (这里用到了刚体的约束条件:(-)= const) ∑刊=∑∑F=∑F而+∑Fd=1∑(F+E1:)=0 【思考】以上证明和刚体内部约束是理想约束的证明有什么联系和区别? 2.在动力学中,通常我们从惯性参考系出发来讨论,即我们假定坐标系Ox0y0=0是惯性参考 系中的固定坐标系。由于质心在质点系诸物理量的分解中的特殊地位,刚体动力学中把刚体的运 动分解为平动和转动时,通常以质心为基点(除非有固定点的情形),即把固连于刚体的坐标系 Cxyz的原点选在质心。这样,刚体的平动部分由质心代表,满足质心运动定律;刚体运动的转动 部分就是相对于质心的运动,也就是在质心参考系(见15页)中刚体绕质心的定点转动,满足下 节讨论的欧拉定动力学方程 3.由于刚体内部的约束的特点,为讨论刚体相对于质心运动的运动学描述,引入角速度矢量 (1.4.节);:为讨论刚体相对于质心运动的动力学规律,将引入转动惯量张量。(2.8.节) 2.8.转动惯量张量欧拉动力学方程(参阅教材§4.4.一§4.9.) 1.转动惯量张量:为了计算作定轴转动和平面平行运动的某些刚体的角动量和动能, 写出动力学方程,我们曾经引入了转动惯量。但在研究刚体的定点转动和一般运 动时,上述转动惯量的概念就不够了,必须把转动惯量推广为转动惯量张量。 【思考】这个转动惯量张量和以前所学的转动惯量之间,有什么区别?有什么联系呢? 【思考】我们学过某些情况下刚体的角动量表达式L=lo,和动能表达式T=-l 这两个式子能否推广到更一般的情况?(这些问题应在学习本节时解决。)1 第二章 牛顿动力学方程 （下） （参阅教材§4．4．－§4．9．） 2．7．刚体动力学的基本概念（参阅教材§4．4．－§4．9．） 1．刚体是一种特殊的质点系，质点系动力学的研究方法也适用于刚体，把动力学的三大定理 应用到刚体，所得结果就是 111 页（4．1．）（4．2．）和（4．3．）。由于刚体的自由度是 6，三大 定理有七个方程，取其中六个方程就足以决定刚体的运动了。 鉴于刚体内部约束的特点(任意两质点间的距离保持不变)，内力所作的功为零（证明见后）， 动能定理(4. 3)式已经得到化简；内势能一般取决于各对质点间的距离(而与相对的取向无关)，因 而内势能也是常数，可以不予考虑（相当于调整计算势能的零点，使内势能为零）。 刚体内力所作功为零的证明： (i) i ji j i F F  =  Fji 是质点 j 作用于质点 i 的力，沿这两个质点的连线，满足 F F ji ij = − 因而可表为 F r r ji ji i j = −  ( ) , (  ji ij = ) ；于是可计算成对内力所做的元功： F dr F dr F dr F dr F dr dr F d r r ji i ij j ji i ji j ji i j ji i j  +  =  −  =  − =  − ( ) ( ) = −  −  ji i j i j (r r d r r ) ( ) ( ) 1 2 0 2 ji i j  d r r   = − =     （这里用到了刚体的约束条件： ( ) 2 i j r r const − = ） ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 1 1 ( ) 0 2 2 i i i ji i ji i ij j ji i ij j i i j i i j j i i j j i i j i j F dr F dr F dr F dr F dr F dr           =  =  +  =  +  =            【思考】以上证明和刚体内部约束是理想约束的证明有什么联系和区别？ 2．在动力学中，通常我们从惯性参考系出发来讨论，即我们假定坐标系 Ox y z 0 0 0 是惯性参考 系中的固定坐标系。由于质心在质点系诸物理量的分解中的特殊地位，刚体动力学中把刚体的运 动分解为平动和转动时，通常以质心为基点（除非有固定点的情形），即把固连于刚体的坐标系 Cxyz 的原点选在质心。这样，刚体的平动部分由质心代表，满足质心运动定律；刚体运动的转动 部分就是相对于质心的运动，也就是在质心参考系（见 15 页）中刚体绕质心的定点转动，满足下 一节讨论的欧拉定动力学方程。 3．由于刚体内部的约束的特点，为讨论刚体相对于质心运动的运动学描述，引入角速度矢量 （1．4．节）；为讨论刚体相对于质心运动的动力学规律，将引入转动惯量张量。(2．8．节) 2．8．转动惯量张量 欧拉动力学方程 （参阅教材§4．4．－§4．9．） 1. 转动惯量张量：为了计算作定轴转动和平面平行运动的某些刚体的角动量和动能， 写出动力学方程，我们曾经引入了转动惯量 I 。但在研究刚体的定点转动和一般运 动时，上述转动惯量的概念就不够了，必须把转动惯量推广为转动惯量张量。 【思考】这个转动惯量张量和以前所学的转动惯量之间，有什么区别？有什么联系呢? 【思考】我们学过某些情况下刚体的角动量表达式 L I =  ，和动能表达式 1 2 2 T I =  , 这两个式子能否推广到更一般的情况? (这些问题应在学习本节时解决。）