注意:以下计算,除非特别说明,对刚体的形状、结构及其运动状况均不加任何限制 2.刚体转动的角动量(121页起 ∑(xm)=∑[XmX=∑m-(,)]=…=,(※) 把(※)式写成矩阵的形式(其中各矩阵元的定义见122页) O l212-23‖o,把其中的矩阵记为: L)(-l1-l2l3人2 Ⅰ是一个二阶张量,称为惯量张量(转动惯量张量),可以表为一个实对称矩阵(满足 Jk=lk)称为惯量矩阵。其中对角元分别为刚体绕各坐标轴的转动惯量,非对角元称为惯 量积。惯量张量的物理意义是刚体作转动时惯性的度量,和平动时质量的概念相当:而其数 学形式则是标量的推广。质量是一个标量,也可以看成是一个特别简单的张量: 00m 由惯量张量的定义可知,l1≥0,12≥0,13≥0但三个对角元中至多可有一个为零 若有两个为零,则必有三个均为零,此时刚体退化为一个质点。 【思考】以下不等式是否成立 1±2/23≥0,l2+2/13≥0,l3±2l12≥0 (12)≤l1 (l1)2≤13l1 选择适当的直角坐标系能使惯量张量表为对角矩阵,这样的三个坐标轴称为刚体的主轴或惯 量主轴。寻找刚体的主轴和数学上寻找矩阵的本征矢量或把矩阵对角化是等价的。惯量张量 的主轴体现了刚体作转动时的惯性的某种对称性。如果刚体的密度是常数,可从刚体形状的 对称性找到主轴。无论刚体的形状有无对称性,刚体的密度分布规则有无对称性,刚体的主 轴是一定存在的,因为实对称矩阵总是可以对角化的 惯量张量一般在固定于刚体的坐标系中进行计算,这样基矢变化(规律比较简单)而惯 量张量的分量不随时间变化,因而计算角动量对时间的导数就比较方便。由于质点系的角动 量定理只有在惯性系和质心系中才有简洁的形式,对固定点和对质心计算的惯量张量总是最 有用的 关于转动惯量,我们曾学过平行轴定理(113页)。至于惯量张量,我们也可以深入思 考一些问题。例如 形状对称的刚体它的对称轴一定是主轴吗? 形状对称的均质刚体它的主轴一定是对称轴吗?2 注意：以下计算，除非特别说明，对刚体的形状、结构及其运动状况均不加任何限制。 2．刚体转动的角动量(121 页起) ( ) ( ) ( ) 2 i i i i i i i i i i i i i L r m v r m r m r r r I =  =   = −  = =                ， （※） 把（※）式写成矩阵的形式(其中各矩阵元的定义见 122 页)： 11 12 13 21 22 23 31 32 33 x x y y z z L I I I L I I I L I I I         − −      = − −                − − 把其中的矩阵记为：           − − − − − − = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 I I I I I I I I I I  I 是一个二阶张量，称为惯量张量（转动惯量张量），可以表为一个实对称矩阵（满足 kl lk I I = ）称为惯量矩阵。其中对角元分别为刚体绕各坐标轴的转动惯量，非对角元称为惯 量积。惯量张量的物理意义是刚体作转动时惯性的度量，和平动时质量的概念相当；而其数 学形式则是标量的推广。质量是一个标量，也可以看成是一个特别简单的张量：           = m m m m 0 0 0 0 0 0 由惯量张量的定义可知， 11 22 33 I I I    0 , 0, 0 但三个对角元中至多可有一个为零； 若有两个为零，则必有三个均为零，此时刚体退化为一个质点。 【思考】以下不等式是否成立 11 23 I I   2 0 ， 22 13 I I   2 0， 33 12 I I   2 0 ( ) 2 12 11 22 I I I   ， ( ) 2 23 22 33 I I I   ， ( ) 2 31 33 11 I I I   ， 选择适当的直角坐标系能使惯量张量表为对角矩阵，这样的三个坐标轴称为刚体的主轴或惯 量主轴。寻找刚体的主轴和数学上寻找矩阵的本征矢量或把矩阵对角化是等价的。惯量张量 的主轴体现了刚体作转动时的惯性的某种对称性。如果刚体的密度是常数,可从刚体形状的 对称性找到主轴。无论刚体的形状有无对称性，刚体的密度分布规则有无对称性，刚体的主 轴是一定存在的，因为实对称矩阵总是可以对角化的。 惯量张量一般在固定于刚体的坐标系中进行计算，这样基矢变化（规律比较简单）而惯 量张量的分量不随时间变化，因而计算角动量对时间的导数就比较方便。由于质点系的角动 量定理只有在惯性系和质心系中才有简洁的形式，对固定点和对质心计算的惯量张量总是最 有用的。 关于转动惯量，我们曾学过平行轴定理（113 页）。至于惯量张量，我们也可以深入思 考一些问题。例如： 形状对称的刚体,它的对称轴一定是主轴吗？ 形状对称的均质刚体,它的主轴一定是对称轴吗？