2x-=0 解方程组 1-xy=0 x=y==,=1 现在判断P(,)是否为条件极值点: 由于问题的实质是求旋转抛物面二=x2+y2+5与平面y=1-x的交线,即开口向上 的抛物线的极值,所以存在极小值,且在唯一驻点P(一,)处取得极小值二 六、(8分)求经过直线x=+1=三2和点(3,2,0)的平面方程 解:已知直线的一般方程为1x-1=2-2,即)+y=0 x-1=-y-1 x-z+1=0 过己知直线的平面束方程为x+y+A(x-z+1)=0 将点(3,-2,0)代入x+y+A(x-二+1)=0得 于是所求平面的方程为 x+y-1(x-2+1)=0,即3x+4y+2-1=0 七、(8分)求微分方程y"-5y+6y=7满足y。=和y1x=0=-1的特解 解对应的齐次方程为y”-5y+6y=0,特征方程为r2-5r+6=0,特征根为 n=2,n2=3,对应齐次方程的通解为y=Ce2+C2e3x 由于A=0不是特征方程的根,故设yn=Q(x)e=Ae, 将Q(x)=A,Q(x)=Q"(x)=0代入方程,有64=7,即A 7 7 于是方程的特解为yp6 方程的通解为y=Ce+Ce+6 现在求满足初始条件的特解.对y求导得y=2Ce2+3C2ex, 将初值代入y与y,有{6 y(0)=C1+C2+,即(C+C2=0 C1=1 l=y(0)=2C1+3C2 于是,方程满足初始条件的特解为y=2xx7 第4页(共4页)第4页（共 4 页） 解方程组 2 0, 2 0, 1 0, x y x y    − =   − =  − − = 得 1 , 1 2 x y = = =  ． 现在判断 1 1 ( , ) 2 2 P 是否为条件极值点： 由于问题的实质是求旋转抛物面 5 2 2 z = x + y + 与平面 y = 1− x 的交线，即开口向上 的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点 1 1 ( , ) 2 2 P 处取得极小值 11 2 z = ． 六、（8 分）求经过直线 1 2 1 1 1 1 − = − + = x− y z 和点(3−2 0)的平面方程. 解： 已知直线的一般方程为    − = − − = − − 1 2 1 1 x z x y  即    − + = + = 1 0 0 x z x y . 过已知直线的平面束方程为 x+y+(x−z+1)=0 将点(3 −2 0)代入 x+y+(x−z+1)=0 得 4   = −  于是所求平面的方程为 ( 1) 0 4 1 x+ y− x−z+ =  即 3x+4y+z−1=0 七、（8 分）求微分方程 y − 5y + 6y = 7 满足 6 7 y x=0 = 和 y x =0 = −1 的特解． 解 对应的齐次方程为 y − 5y + 6y = 0 ，特征方程为 5 6 0 2 r − r + = ，特征根为 1 r =2， 2 r =3，对应齐次方程的通解为 2 3 1 2 e e x x c y C C = + ． 由于  =0 不是特征方程的根，故设 0 0 ( )e e x x p y Q x A = = ， 将 Q x A ( ) = ，Q(x) = Q(x) = 0 代入方程，有 6A=7， 即 A= 6 7 ． 于是方程的特解为 6 7 y p = ， 方程的通解为 2 3 1 2 7 = e + e 6 x x y C C + ． 现在求满足初始条件的特解．对 y 求导得 2 3 1 2 2 e 3 e x x y C C  = + ， 将初值代入 y 与 y ，有 1 2 1 2 7 7 (0) , 6 6 1 (0) 2 3 , y C C y C C   = = + +   − = = +   即  1 2 1 2 0, 2 3 1, C C C C + = + = −   1 2 1 , 1, C C = = − 于是，方程满足初始条件的特解为 y = 2 3 7 e e 6 x x − + ．