7.曲线 x2+2-4=0绕=轴旋转所得的旋转曲面的方程是 直线3=2=与平面3x+-=2的位置关系是直线在平面内 三、判断题(正确的打“√”,错误的打“X”,每小题2分,共14分) 若a·b=b·c且b≠0,则 2.y=y的通解为y=Ce(C为任意常数) √) 3.若(xa,y0)为z=f(x,y)的极值点,则(x,y)一定为驻点 4.若函数f(xy)在有界闭区域D1上可积,且D=D2,则∫(xy)ddy≥ ∫(x,y)dxdy 5.函数的麦克劳林级数一定是此函数的幂级数展开式 6.因为man=0.所以正项级数∑n收敛 7.若axb=b×c且b≠0,则a 四、(8分)设曲线上任一点P(x,y)的切线及该点到坐标原点O的连 线OP与y轴围成的面积是常数A,求这曲线方程 解设曲线方程为y=f(x),则P(x,y)的切线方程为 即Y=y+y( 令X=0,有Y(0)=y-xy’, 由于切线、OP及y轴围成的面积为A,则有方(y-xy)=A,即y-=+2A x 对y-2=0应用分离变量法,得y=cx 2A 设y=c(x)x,有c(x)x=±-2→c(x)=±-3→c(x)=± 2A 从而 ±二+Cx=±二+C 五、(8分)求=x2+y2+5在约束条件y=1-x下的极值. 解作辅助函数F(x,y,4)=x2+y2+5+/(1-x-y) 则有 Fr=2x-a, Fy=2y-a 第3页(共4页)第3页（共 4 页） 7．曲线    = + − = 0 4 0 2 2 y x z z 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的方程是 x 2+y 2+z 2−4z=0. 8．直线 1 1 3 2 1 − = − = x− y z 与平面 3x+4y−z=2 的位置关系是 直线在平面内. 三、判断题（ 正确的打“√”，错误的打“X”,每小题 2 分，共 14 分） 1. 若 a b = b c 且 b  0 ，则 a = c ； (  ) 2. y = y 的通解为 e x y C= （C 为任意常数）． （ √ ） 3. 若 ( ) 0 0 x , y 为 z = f (x, y) 的极值点，则 ( ) 0 0 x , y 一定为驻点； （  ） 4. 若函数 f (x, y) 在有界闭区域 D1 上可积，且 D1  D2 ，则  1 ( , )d d D f x y x y ≥  2 ( , )d d D f x y x y ； (  ) 5. 函数的麦克劳林级数一定是此函数的幂级数展开式； （  ） 6. 因为 lim = 0, → n n u 所以正项级数   n=1 n u 收敛； （  ） 7. 若 a b = b c 且 b  0 ，则 a = c ； (  ) 四、（8 分）设曲线上任一点 P(x, y) 的切线及该点到坐标原点 O 的连 线 OP 与 y 轴围成的面积是常数 A ，求这曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f (x) ，则 P(x, y) 的切线方程为 Y − y = y (X − x) ， 即 Y = y + y(X − x)， 令 X = 0 ，有 Y (0) = y − xy， 由于切线、OP 及 y 轴围成的面积为 A，则有 x( y − xy ) = A 2 1 ，即 2 2 x A x y y  − =  ， 对  − = 0 x y y 应用分离变量法，得 y cx = ， 设 y = c(x) x ，有 2 2 ( ) x A c  x  x =   3 2 ( ) x A c  x =   2 2 ( ) 2 A c x C x =  + ， 从而 2 2 A A y Cx Cx x x =  + =  + 。 五、（8 分）求 5 2 2 z = x + y + 在约束条件 y = 1− x 下的极值. 解 作辅助函数 ( , , ) 5 (1 ) 2 2 F x y  = x + y + +  − x − y ， 则有 Fx  = 2x − , Fy  = 2y − 