2 sin cos 0 令{y=2ssm0,则、2+y2+42=y2im2+4o9,由 coS p x=√2 cOS cos(,y=√2 cousin 6,==-sing, x=-√2 sin sing, √2 sin cos0,z=0, 得到 =sing√sin2g+4cos2g, 由此得到 3 cos psin o(sin"(+2cos )do=TI 过p(x,y,z) 注本题也可由∑:z x2-y2投影到xy平面上来计算得到 (4 y )dxdy 10.设Σ是单位球面x2+y2+z2=1。证明 s(ar+by+cr)dS=27 f(uva+b2+c2)du 其中abc为不全为零的常数,f()是uk√a2+b2+c2上的一元连 续函数 证将xyz-坐标系保持原点不动旋转成xyz-坐标系,使z轴上的单 位向量为2=(abc),由于旋转变换是正交变换,保持度量不 变,所以球面Σ上的面积元dS也不变。设球面∑上一点(x,y,z)的新坐 标为(x,y,z),则ax+by+c=√a2+b2+c22,于是 ∫/(a+by+c)s=J/(√a2+b2+c2)dS ∑ 下面计算这一曲面积分。令球面∑的参数方程为 x'=sin cos, y=sin sin 8, ==cos 则 EG-F 所以 Sr(lax+by+c)ds= def/(a2+b2+c2 cos p)sin gdo令 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos 2 sin sin 2 sin cos z y x ，则 + + = 2 2 2 x y 4z ϕ ϕ 2 2 2sin + 4cos ，由 xϕ ′ = 2 cosϕ cosθ, yϕ ′ = 2 cosϕ sinθ, zϕ ′ = −sinϕ ， xθ ′ = − 2 sinϕ sinθ, yθ ′ = 2 sinϕ cosθ, zθ ′ = 0， 得到 − = 2 EG F ϕ ϕ ϕ 2 2 sin 2sin + 4cos ， 由此得到 θ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π ρ π π 2 3 cos sin (sin 2cos ) ( , , ) 2 0 2 2 2 0 = + = ∫∫ ∫ ∫ Σ dS d d x y z z 。 注 本题也可由Σ ： 2 2 2 2 1 z = − x − y 投影到 xy平面上来计算得到 ∫∫ Σ dS x y z z ρ( , , ) π 2 3 (4 ) 4 1 2 2 = − − = ∫∫ Dxy x y dxdy 。 10. 设Σ 是单位球面 1。证明 2 2 2 x + y + z = ∫∫ ∫− Σ + + = + + 1 1 2 2 2 f (ax by cz)dS 2π f (u a b c )du ， 其中a,b, c 为不全为零的常数， f (u) 是 2 2 2 | u |≤ a + b + c 上的一元连 续函数。 证 将 xyz − 坐标系保持原点不动旋转成 x' y'z'−坐标系，使 轴上的单 位向量为 z' ( , , ) 1 2 2 2 a b c a + b + c ，由于旋转变换是正交变换，保持度量不 变，所以球面Σ 上的面积元dS 也不变。设球面Σ 上一点 的新坐 标为 ，则 (x, y,z) (x', y',z') ' 2 2 2 ax + by + cz = a + b + c z ，于是 ∫∫ Σ f (ax + by + cz)dS ∫∫ Σ = f ( a + b + c z')dS 2 2 2 。 下面计算这一曲面积分。令球面Σ 的参数方程为 x'= sinϕ cosθ ， y'= sinϕ sinθ ， z'= cosϕ ， 则 − = 2 EG F sinϕ ， 所以 ∫∫ Σ f (ax + by + cz)dS ∫ ∫ = + + π π θ ϕ ϕ ϕ 0 2 2 2 2 0 d f ( a b c cos )sin d 9