∫S=ysds=JsS=0 ∫2ds=∫m2dS=js2ds=3j 4 (2+n2+g)dS=-丌 由于 T'(R)==ISu +mu +su ]ds T"(R) 4兀s 5x+n2n+su"+2(5m”+5yx+52)d 以R=0代入,得到 Lou 2u a2u 由 Taylor公式,即知当R→0时,无穷小量T(R)-u(xn,yo,0)的主要部 分为 o lt 6 0x 0y 0 9.设为上半椭球面y+2=1(=20),z为Σ在点P(xy)处 的切平面,xy)为原点00到平面x的距离,求 解因为椭球面x+2+x2=1在P(x,y,2)点的法向量为万=(x,y,2=) 所以切平面z的方程为 xX+y}+2z=2, 从而原点到x的距离为 p(x,y,二)∫∫ Σ = * ξηdS ∫∫ Σ = * ης dS 0 * ∫∫ Σ ς ξdS = ， ∫∫ Σ = * 2 ξ dS ∫∫ Σ = * 2 η dS ∫∫ Σ = * 2 ς dS ∫∫ Σ + + * ( ) 3 1 2 2 2 ξ η ς dS π 3 4 = 。 由于 ∫∫ Σ ′ = ′ + ′ + ′ * [ ] 4 1 T (R) ξux ηuy ςuz dS π ， ∫∫ Σ ′′ = ′′ + ′′ + ′′ + ′′ + ′′ + ′′ * [ 2( )] 4 1 ( ) 2 2 2 T R ξ uxx η uyy ς uzz ξηuxy ξςuxz ηςuyz dS π ， 以R = 0 代入，得到 T '(0) = 0 T"(0) = ( , , ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ( ) 3 1 x y z z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + 。 由 Taylor 公式，即知当R → 0时，无穷小量T R( ) − u(x , y ,z ) 0 0 0 的主要部 分为 ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ( ) 6 x y z z u y u x R u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + 。 9. 设Σ 为上半椭球面 1 2 2 2 2 2 + + z = x y （ z ≥ 0），π 为Σ 在点 处 的切平面， P(x, y,z) ρ(x, y,z)为原点O(0,0,0)到平面π 的距离，求∫∫ Σ dS x y z z ρ( , , ) 。 解 因为椭球面 1 2 2 2 2 2 + + z = x y 在P(x, y,z)点的法向量为n K = (x, y, 2z)， 所以切平面π 的方程为 xX + yY + 2zZ = 2 ， 从而原点到π 的距离为 2 2 2 4 2 ( , , ) x y z x y z + + ρ = 。 8