xn>n+5对一切n>N成立,且n}中有无穷多项,满足xn<n-5;于 是cxn<cn+对一切n>N成立,且{xn}中有无穷多项,满足 cxn>c5-E;所以 3.证明 (1) lim(x, +y,)2 lim x, +lim y (2)若limx,存在,则 (x, +y,=lim x,+lim 证(1)记imxn=h1, lim y=h2,则对任意给定的g>0,存在正整 数N,对一切n>N,成立xn>h1 E,即 十 于是 (xn+yn)≥h1+h2 由E的任意性,即得到 lim (x, +yu)2h,+h2=lim x, +lim y (2)若limx存在,则由(1), lim(x,,)2 lim x, + lim y H→① 且 lim yu= lim [(xn+yn)-xn12 lim(xn+yn)+lim (xn) 两式结合即得到 (x, +y,=lim x n +lim y 4.证明:若 <0,则 (1) lim(x, yu lim x, lim yn (2)lim (x,y,)=lim x,. lim y 证由imxn=x,-0<x<0,可知对任意给定的ε(0<E<-x),存在正 整数M1,对一切n>N1,成立 x-8<x<x+ 记 lim y=H, lim y=h,则对上述ε(0<E<-x),存在正整数N2,对c xn ε > η + 对一切 n >N 成立，且{xn }中有无穷多项，满足 c xn ε < η − ；于 是 cx < cη + ε n 对一切 n > N 成立，且 {cxn } 中有无穷多项，满足 cx > cξ − ε n ；所以 n→∞ lim ( ) n cx = cη = c n→∞ lim xn 。 3. 证明： (1) n→∞ lim ( xn + yn )≥ n→∞ lim xn +n→∞ lim n y ； (2) 若lim 存在，则 n→∞ n x n→∞ lim ( xn + yn )= + n→∞ lim xn n→∞ lim n y 。 证 （1）记n→∞ lim xn 1 = h ，n→∞ lim n y 2 = h ，则对任意给定的ε > 0 ，存在正整 数 N，对一切 n >N，成立 2 1 ε xn > h − ， 2 2 ε yn > h − ，即 + > + − ε h1 h2 x y n n ， 于是 n→∞ lim ( x + ) n n y ≥ + − ε 1 2 h h 。 由ε 的任意性，即得到 n→∞ lim ( x + ) n n y ≥ h1 + h2 = n→∞ lim xn +n→∞ lim n y 。 （2）若lim 存在，则由（1）， n→∞ n x n→∞ lim ( xn + yn ) ≥ + n→∞ lim xn n→∞ lim n y ， 且 n→∞ lim n y →∞ = n lim [( ) ] n n n x + ≥ y − x n→∞ lim ( ) n n x + y +n→∞ lim ( ) n −x →∞ = n lim ( ) n n x + y n n x →∞ − lim ， 两式结合即得到 n→∞ lim ( xn + yn )= + n→∞ lim xn n→∞ lim n y 。 4. 证明：若lim = x， n→∞ xn − ∞ < x < 0, 则 （1）n→∞ lim ( x )= n n y lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y ； （2）n→∞ lim ( x )= n n y lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y 。 证 由lim = x， ，可知对任意给定的 n→∞ xn − ∞ < x < 0 ε (0 < ε < −x)，存在正 整数 N1，对一切 n > N1，成立 x − ε < xn < x + ε < 0。 记n→∞ lim n y = H ，n→∞ lim n y = h ，则对上述ε (0 < ε < −x)，存在正整数 N2 ，对 5