习题92上极限与下极限 1.求下列数列的上极限与下极限 n +(-1) (3)xn=-n[(-1)+2] (4)x,= Vn+1 + sin (5)xn=2(-1)+3(-1 解(1)limx xn (2)imx=+∞,lim (3)imx=-∞,limx,=-∞。 n→① (4) lim x=1 (5) lim x=5,inxn=-5。 2.证明 c>0 (1)lim(x,)=-lim xm: (2)lim(cx, )=3 lim xn 证仅对{x}是有界数列给出证明 (1)设imxn=n,则对任意给定的E>0,存在正整数N,使得xn>n- 对一切n>N成立,且{xn}中有无穷多项,满足xn<刀+E;于是 xn<-n+E对一切n>N成立,且(-xn}中有无穷多项,满足 于是 lim(-x=-n=-lim x (2)设c>0, lim x=5,则对任意给定的>0,存在正整数N,使 得xn<5+5对一切n>N成立,且xn}中有无穷多项,满足xn>5- 于是cxn<c5+E对一切n>N成立,且{axn}中有无穷多项,满足 所以 )=c5=clim x 设c<0,imxn=n,则对任意给定的ε>0,存在正整数N,使得习 题 9.2 上极限与下极限 1. 求下列数列的上极限与下极限 (1) x = n 2n +1 n 5 2 cos nπ ； (2) x = n + (-1) n n n n 1 2 + ； (3) x = -n [ (-1) n n + 2]； (4) x = n n n +1 + sin 3 nπ ； (5) x = 2 (-1) n n+1 +3 2 ( 1) ( 1) − − n n 。 解（1） 2 1 lim = →∞ n n x ， 5 cos 2 1 lim π = − →∞ n n x 。 （2） = +∞ →∞ n n lim x ， lim = 0 →∞ n n x 。 （3） = −∞ →∞ n n lim x ， = −∞ →∞ n n lim x 。 （4） 2 3 lim = 1+ →∞ n n x ， 2 3 lim = 1− →∞ n n x 。 （5） lim = 5 →∞ n n x ， lim = −5 →∞ n n x 。 2. 证明： (1) n→∞ lim (- xn ) = - n→∞ lim xn ； (2) n→∞ lim (c x ) = n ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < > →∞ →∞ lim , 0. lim , 0, c x c c x c n n n n 证 仅对{ xn }是有界数列给出证明。 （1） 设n→∞ lim xn =η，则对任意给定的ε >0，存在正整数 N，使得 > η − ε n x 对一切 n > N 成立，且 {xn }中有无穷多项，满足 < η + ε n x ；于是 − < −η + ε n x 对一切 n > N 成立，且 {− xn } 中有无穷多项，满足 − > −η − ε n x ；于是 n→∞ lim (- xn )=−η = - n→∞ lim xn 。 （2） 设c > 0，n→∞ lim xn = ξ ，则对任意给定的ε > 0，存在正整数 N，使 得 c xn ε < ξ + 对一切 n >N 成立，且{xn }中有无穷多项，满足 c xn ε > ξ − ； 于是 cx < cξ + ε n 对一切 n > N 成立，且 {cxn } 中有无穷多项，满足 cx > cξ − ε n ；所以 n→∞ lim ( ) n cx = cξ →∞ = n c lim xn 。 设c < 0，n→∞ lim xn =η，则对任意给定的ε >0，存在正整数 N，使得 4