(3)当x=1时显然级数收敛;当x≠1时∑x"(1-x)=(1-x)∑x”,收敛 范围是x∈(-1);所以当x∈(-1]时级数收敛 3.求八进制无限循环小数(36.0736073607…)8的值 解(360736073607..)s 4n+2 4n+3 478 30 4095 4.设xn=[x2(1-x)"x,求级数∑xn的和。 解x,=x20-xyd=x“(-x3 n+1n+2 于是 23n+2n+3 所以 ∑xn=limS.=1 5.设抛物线:y=mx2+n和2:y=(+Dx2+n+1的交点的横坐标 的绝对值为an(n=1,2,…) (1)求抛物线与所围成的平面图形的面积Sn; (2)求级数∑的和。 解(1)容易求出抛物线ln:y=nx2+-和:;y=(n+1)x2+-,的 n+1 交点的横坐标的绝对值为an= n+,于是 (n+1)x2+ Sn 4 3Hm(n+1)3（3）当 x = 1时显然级数收敛；当 x ≠ 1时 ，收敛 范围是 ；所以当 ∑ ∞ = − 1 (1 ) n n x x ∑ ∞ = = − 1 (1 ) n n x x x ∈ (−1,1) x ∈(−1,1]时级数收敛。 3. 求八进制无限循环小数 (36.0736073607 … )8 的值。 解 (36.0736073607 … )8 ∑ ∞ = + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = × + + 0 4 2 4 3 4 4 8 1 6 8 1 3 8 1 3 8 6 7 n n n n 4095 478 = 30 。 4. 设 ，求级数 的和。 ∫ = − 1 0 2 x x (1 x) dx n n ∑ ∞ n=1 n x 解 ∫ = − 1 0 2 x x (1 x) dx n n = ∫ − 1 0 2 x (1 x) dx n 3 1 2 2 1 1 + + + − + = n n n ， 于是 ∑ = = n k n k S x 1 3 1 2 1 3 1 2 1 + + + = − − n n ， 所以 ∑ ∞ = = n 1 n x 6 1 lim = →∞ n n S 。 5. 设抛物线ln： n y nx 2 1 = + 和 nl′ ： 1 1 ( 1) 2 + = + + n y n x 的交点的横坐标 的绝对值为an（n = 1,2,"）。 (1)求抛物线ln与ln ′ 所围成的平面图形的面积Sn ； (2)求级数∑ ∞ n=1 n n a S 的和。 解 (1) 容易求出抛物线ln： n y nx 2 1 = + 和 nl′ ： 1 1 ( 1) 2 + = + + n y n x 的 交点的横坐标的绝对值为 ( 1) 1 + = n n an ，于是 ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ − + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + an n dx n n x n S nx 0 2 2 1 1 ( 1) 1 2 3 3 4 n = a ； (2) ∑ = ∞ n=1 n n a S ∑ = ∞ =1 2 3 4 n n a 3 4 ( 1) 1 3 4 1 = + ∑ ∞ n= n n 。 3