(分离变量常数不出现在导数项的系数中)写成算符形式 CU)=-Aw(x川y),C=f(x)—+g(x)+h(x 应化为:p()4,+p(x)4-x)形式 dy g(r)dy h(x) w(x) 一般二阶线性常微分方程 比较:d2J(dx) dy p(x)dy g(x) =-4— y Sturm- Liouville方程 dx2 p(x)dx px) 重要的差异在于一阶导数的系数(蓝色部分),因而 In p(x)= p(x)=exp gu d f(x) p(x) f(r) f(x) 为此:算符C=/(x)+g()+hx) 左边乘以函数:F(x)= ) f(r)I (注意当g(x)=f(x)时F(x)=1) f(r) 故:F(x)C=cx d题d+F)M) F(x)C算符中一阶导数项的系数(紫色部分)刚好是二阶导数项的系数(蓝色部分)的导数! Flr)e= d fx)h(x f(x)d 此即Surm- Liouville算符,是自伴的 对实函数,该算符满足厄米算符的三个性质:实本征值、正交、完备 接下来,对“分离变量得到常微分方程,进而得到特殊函数”的过程,我们都试着用同一个思路理解。 微分方程级数解典型图形生成函数递推关系微分积分表示正交完备 渐近行为 家庭背景个人形象几张小照父母朋友闺蜜衣着打扮个人品德“一起慢慢变老” 152 Hermite多项式 Hermite微分方程 y"-2xy+2my=0 “卿本佳人,奈何做贼”,如此简单的微分方程,偏偏就不是Stum- Liouville形式 当然,乘以:Fx)= =e-x就是了: d d dr +2me- 函数定义于:-00<x<+∞0 Q级数解 x=0是微分方程的常点,据 Frobenius and fuchs定理,方程必有以下形式的解 ScHA（分离变量常数不出现在导数项的系数中）写成算符形式： ℒ′ y〉 = −λ w(x) y〉, ℒ′ = f (x) 2 x2 + g(x)  x + h(x) 应化为：p(x) 2 x2 +p′(x)  x −q(x) 形式。 比较： 2 y x2 + g(x) f (x) y x + h(x) f (x) y = −λ w(x) f (x) y 一般二阶线性常微分方程 2 y x2 + p′ (x) p(x) y x − q(x) p(x) y = −λ w(x) p(x) y Sturm − Liouville 方程 重要的差异在于一阶导数的系数 （蓝色部分），因而 令： g(x) f (x) = p′ (x) p(x) 两边同时积分 ln p(x) =  g(x) f (x) x ⟹ p(x) = exp  g(x) f (x) x 为此：算符 ℒ′ = f (x) 2 x2 + g(x)  x + h(x) 左边乘以函数 ：F(x) = exp  g(x) f (x) x f (x) （注意 当 g(x) = f ′ (x) 时 F(x) = 1） 故：F(x) ℒ′ = exp g(x) f (x) x 2 x2 + exp g(x) f (x) x g(x) f (x)  x +F(x) h(x) F(x) ℒ′ 算符中一阶导数项的系数（紫色部分）刚好是二阶导数项的系数（蓝色部分）的导数！ F(x) ℒ′ =  x exp  g(x) f (x) x  x + F(x) h(x) 此即 Sturm-Liouville算符，是自伴的。 对实函数，该算符满足厄米算符的三个性质：实本征值、正交、完备。 接下来，对“分离变量得到常微分方程，进而得到特殊函数”的过程，我们都试着用同一个思路理解。 微分方程 级数解 典型图形 生成函数 递推关系 微分积分表示 正交完备 x  ∞ 渐近行为 ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 家庭背景 个人形象 几张小照 父母 朋友闺蜜 衣着打扮 个人品德 “一起慢慢变老 ” 15.2 Hermite 多项式  Hermite 微分方程 y″ − 2 x y′ + 2 m y = 0 “卿本佳人，奈何做贼”，如此简单的微分方程，偏偏就不是Sturm-Liouville形式。 当然，乘以：F(x) = exp g(x) f (x) x f (x) = −x2 就是了：  x −x2  y x + 2 m −x2 y = 0 函数定义于：−∞ < x < +∞  级数解 x = 0 是微分方程的常点，据 Frobenius and Fuchs 定理 ，方程必有以下形式的解： y(x) =  k=0 ∞ ck xk 6 z15a.nb