1 5a. nb 带入微分方程的系数的递推关系 2(m-k) (k+1)(k+2) 两个线性独立解,分别对应于偶次幂与奇次幂,给定co,q1即可得两解 当m为整数时,其中一个解退化为多项式 m为偶数时,取c0=(-1P2m1,m为奇数时,取c1=(1m02m (m/2)! [(m-1)/2] 得同一个表达式: Hm k!(m-2k)! Q图形 HoGx)=l H1(x) H2(x)=4x2-2 H2(x) H3(x)=8x3-12 H H4(x)=16x4-48x2+12 H4(x) Q生成函数 由生成函数可得积分表示 Q递推关系 生成函数对t求导 n(x)-2n Hm-(x) 生成函数对x求导 Hr(x)=2nH-(x) 联立可得 Hu+(x)=2x Hn(x)-HR(r) Q微分表示、积分表示 Rodrigue微分表示 Hn(x)=(-1) Schlaefli积分表示(生成函数 Taylor展开系数) i5( )r-I dr带入微分方程的系数的递推关系 ck+2 = − 2 (m − k) (k + 1) (k + 2) ck 两个线性独立解，分别对应于偶次幂与奇次幂，给定 c0, c1 即可得两解。 当 m 为整数时，其中一个解退化为多项式。 m 为偶数时，取 c0 = (−1)m/2 m! (m/ 2)! ， m 为奇数时，取 c1 = (−1)(m−1)/2 2 m! [(m − 1)/ 2]! 得同一个表达式： Hm =  k=0 ⌊m/2⌋ (−1)k m! k ! (m − 2 k)! (2 x)m−2 k  图形 H0(x) = 1 H1(x) = 2 x H2(x) = 4 x2 − 2 H3(x) = 8 x3 − 12 H4(x) = 16 x4 − 48 x2 + 12 −2 −1 1 2 −30 −20 −10 10 20 30 Hn(x) H1(x) H2(x) H3(x) H4(x)  生成函数 g(x, t) = −t2+2 t x =  n=0 ∞ Hn(x) t n n! 由生成函数可得积分表示。  递推关系 生成函数对 t 求导， Hn+1(x) = 2 x Hn(x) − 2 n Hn−1(x) 生成函数对 x 求导 Hn ′ (x) = 2 n Hn−1(x) 联立可得： Hn+1(x) = 2 x Hn(x) − Hn ′ (x)  微分表示、积分表示 Rodrigue微分表示 Hn(x) = (−1)n x2  n xn −x2  Schlaefli 积分表示 （生成函数 Taylor 展开系数） Hn(x) = n! 2 π   t −n−1 t2−2 t x t z15a.nb 7