Q正交完备 Hermite方程 y-2xy+2my=0 写成Surm- Liouville形式 +2me-ry=o 比较 p(r)-q(x)y+Aw(x)y=0 对应于:p(x)=e-x2,q(x)=0,v(x)=2e-2 权函数:2e-x,正交关系 Hm(x)H,(xe-x dx=0 if m# n 可以导出 [Hn(x)le-xdx= 2Mn!VI 证明 由 Rodrigue微分表示:H(x)=(-1)e2 [Hn(x)F2e-xdx (-1)2 部积分 =(-1)nHn(x) (-1/aB)d dHn(x) d dx dx- 2n,na利用￠H:2n de H,(x e-edx=2m n!vr Q渐近行为 当n=不是整数时, Hm(x)=>cx 带入微分方程的系数的递推关系 2(-k) k很大时s (k+1)(k+2) 比较 正交完备 Hermite 方程 y″ − 2 x y′ + 2 m y = 0 写成Sturm-Liouville形式  x −x2  y x + 2 m −x2 y = 0 比较：  x p(x) y x  − q(x) y + λ w(x) y = 0 对应于：p(x) = −x2 , q(x) = 0, w(x) = 2 −x2 权函数：2 −x2 ，正交关系 −∞ ∞ Hm(x) Hn(x) −x2 x = 0 if m ≠ n 可以导出： −∞ ∞ [Hn(x)]2 −x2 x = 2n n ! π  证明 由Rodrigue微分表示 ：Hn(x) = (−1)n x2  n xn −x2  I = −∞ ∞ [Hn(x)]2 −x2 x = (−1)n −∞ ∞ Hn(x)  n xn −x2  x 分部积分 = (−1)n Hn(x) n−1 xn−1 −x2  −∞ ∞ − (−1) n −∞ ∞ Hn(x) x n−1 xn−1 −x2  x = (−1)n−1 −∞ ∞ Hn(x) x  n−1 xn−1 −x2  x = −∞ ∞ n Hn(x) xn −x2 x 利用 n Hn(x) xn = 2n n! = 2n n! −∞ ∞ −x2 x = 2n n ! π 完备： f (x) =  n=0 ∞ an Hn(x), an = 1 2n n! π −∞ ∞ f (x) Hn(x) −x2 x  渐近行为 当 n = v 不是整数时， Hv(x) =  k=0 ∞ ck xk 带入微分方程的系数的递推关系 ck+2 = − 2 (v − k) (k + 1) (k + 2) ck ⟹ k 很大时 ck+2 ck ~ 2 (k + 1) 比较： x2 =  k=0 ∞ x2 k k ! =  k=0 ∞ dk x2 k ⟹ k 很大时 dk+2 dk ~ 1 (k + 1) 8 z15a.nb