1 5a. nb H(x)~ex2x→∞时 Q应用举例:一维谐振子 量子力学中最简单的例子,一维谐振子。 质量为m的粒子一维势场中运动, Schrodinger方程 (=)+()如(=)=E叭(=) 其中:如()为波函数,E为粒子能量,V()为一维势能,对谐振子 ()=-mu2=2相当于一弹簧的势能,c为特征频率 显然,这是个 Sturm-Liou间题s: r-q(x)y+Aw(x)y=0 需要确定能量本征值E。先做变量代换,简化方程 Schrodinger方程化为: d 2 -x2+A=0 标准Sum- Liouville问题 但并非我们熟悉的方程。再做变换:(x)=e-2m(x),新函数rx)满足的方程为 "-2xn+(A-1)n=0 比较 Hermite方程:y"-2xy+2ny=0 可知,只有A-1=2n且n为正整数时,(x)在x→∞时才有限 否则:m(x)~e x)=e-Pn(x)~e在x→∞时为无穷大,不合物理。 这里蕴含的物理是:量子波函数在无穷远处必须为0。 由此,我们得到,一维量子谐振子,能量是量子化的 E= 24=(2n+1)=n+-ha 波函数:n(x)=cn-pm(x)=cne-H(x) 其中cn为归一化常数,利用|x2dx=1确定 波函数:bn(x)= n H n!vI 原来,量子化与Surm- Liouville本征值问题有着物理与数学的内在联系 正如,测不准关系与 Fourier变换有着内在联系一样 求归一化常数cn知： Hv(x) ~ x2 x  ∞ 时  应用举例：一维谐振子 量子力学中最简单的例子，一维谐振子。 质量为 m 的粒子一维势场中运动，Schrödinger方程 − ℏ2 2 m 2 z2 ψ(z) + V(z) ψ(z) = E ψ(z) 其中：ψ(z) 为波函数， E 为粒子能量， V(z) 为一维势能，对谐振子 V(z) = 1 2 m ω2 z2 相当于一弹簧的势能 ，ω 为特征频率 。 显然，这是个Sturm-Liouville 问题：  x p(x) y x  − q(x) y + λ w(x) y = 0 需要确定能量本征值 E。先做变量代换，简化方程。 x = α z, α = m ω ℏ , λ = 2 E ℏ ω Schrödinger方程化为： 2 x2 ψ − x2 ψ + λ ψ = 0 —— 标准Sturm − Liouville 问题 但并非我们熟悉的方程。再做变换：ψ(x) = −x2/2 η(x)，新函数 η(x) 满足的方程为： η′′ − 2 x η′ + (λ − 1) η = 0 比较 Hermite 方程：y″ − 2 x y′ + 2 n y = 0 可知，只有 λ − 1 = 2 n 且 n 为正整数时， η(x) 在 x  ∞ 时才有限， 否则：η(x) ~ x2 ⟹ ψ(x) = −x2/2 η(x) ~ x2/2 在 x  ∞ 时为无穷大，不合物理。 这里蕴含的物理是： 量子波函数在无穷远处必须为 0。 由此，我们得到，一维量子谐振子，能量是量子化的： E = ℏ ω 2 λ = ℏ ω 2 (2 n + 1) = n + 1 2 ℏ ω 波函数： ψn(x) = cn −x2/2 η(x) = cn −x2/2 Hn(x) 其中 cn 为归一化常数 ，利用 −∞ ∞ ψn(x) 2 x = 1 确定。 波函数： ψn(x) = 1 2n n! π  1/2 −x2/2 Hn(x) 原来，量子化与Sturm-Liouville 本征值问题有着物理与数学的内在联系， 正如，测不准关系与Fourier变换有着内在联系一样 。 求归一化常数 cn z15a.nb 9