D0I:10.13374/j.issn1001053x.2005.05.061 第27卷第5期 北京科。技大学学报 Vol.27 No.5 2005年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2005 利用Silnikov定理构造混沌系统 朱淑芹)杨淼)张先华)闵乐泉12四 1)北京科技大学应用科学学院数学系，北京1000832)北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要利用Silnikov定理构造了一类新的三维二次多项式混沌系统，该系统只具有一个平 衡点.理论分析表明该系统具有Smale马蹄意义的混沌，计算机仿真实例显示系统的Smale马 蹄具有吸引性.利用该方法还可以构造其他的三维二次多项式混沌系统。 关键词同宿轨道；混沌系统：Silnikov定理 分类号0191 近20年来，混沌动力学系统已在广泛的领域 系统，在构造的过程中，考查了一些经典的混沌 得到应用，如大脑神经网络分析、图像数据加密、 系统：Lorens系统，Chenm系统和Lv系统，发现 非线性系统辨识、计算机图形处理、通信和信息 它们的一些共同性质，如系统在平衡点的雅可比 处理、生物医学，因此有关混沌的诱发、控制与 矩阵的行列式值小于零，且特征值有一个负实 反控制的研究得到了越来越多的关注.有关学者 根，和一对具有正实部的共轭复根.一般的三维 开始研究如何构造新的混沌系统.陈关荣和吕金 二次多项式系统具有以下形式： 虎在Lorenz系统的基础上分别构造出了Chen系 x,=∑ayxx+Eaxa 产 】 统和Lv系统，文献[4]基于Silnikov定理构造了 3 一个三维二次多项式混沌系统.本文在Silnikov =∑bpxx+Ebx+b (2) 定理的基础上，构造了一类新的三维混沌二次多 Ecxxx+Ecxtc 项式混沌系统，数值仿真表明该系统存在混沌吸 其中，ay,bi,Ci,an b,c,a,b,c(,j户l,2,3)为系数.构造 引子. 的系统形式如下： 1 Silnikov定理 [元1=41x1十a12x2十a163 2=a2ixx3十anx2十b (3) Silnikov定理设 -ax1十a3xx3+C X(=f(X() (1) 其中，a1,a,a1,a2,a2,a,an,b,c为实参数.系统 其中，tERx∈R,fR一R且设存在x∈R使得 (3)的平衡点(x,,x)可由系统(3)解出： fx)0.令J=Dfx)是x)在平衡点x.的雅可比 xaub-ana, (4) a1a1-41a2k 矩阵.J满足以下条件： x2ban） (5) (1)J有三个特征根：a,肚io,其中a<0,B>0, 其中，x3是下面方程的实解： lapB,aB,w∈R. anaza-(apana+bauan+canan)x+ (2)存在一条通过平衡点x的同宿轨道. canaz+anab=0 (6) 则系统(I)存在Smale马蹄的混沌. 因此式(4)，(5)和(6)确定了方程(3)的一平衡 2构造新的混沌系统 点，记作Ox,,).于是得到系统(3)在平衡点的 雅可比矩阵为： 为了构造一个满足Silnikov定理的新的混沌 an 收稿日期：200409-10修回日期：200411-11 Jauxi an aax (7) 基金顶目：因家自然科学基金资助项目No.60074034,N0. a anx anx 70271068:高等学校博士学科点专项科研基金资助项目No. 其行列式值为： 2002008004) det()=aanax2-anazaxx-azanaxx 作者简介：朱淑芹(1980一)，女，硕士研究生第 2 7 卷 第 5 期 2 0 0 5 年 1 0 月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u r . a l o f U n i v e r s iyt o f S e ie n e e a n d l’e c h n o l o gy B e ij i n g Vb l . 2 7 N O 一 5 o e t 2 00 5 利 用 S il n i k o v 定理构造混沌系统 朱淑芹 ” 杨 森 ” 张先 华 ” 阂 乐 泉 ’ ,2) l) 北 京科技 大学 应用科学学 院数 学系 , 北 京 10 0 0 83 2 )北 京科 技大 学信 息工程 学院 , 北 京 0r 0 0 83 摘 要 利用 is l n ik o v 定 理构 造 了一类 新 的三 维二 次多 项式混 沌 系统 , 该 系 统只 具 有一 个平 衡 点 . 理论 分析表 明该系 统具有 S m al e 马蹄意 义 的混沌 , 计算 机 仿真 实例显 示系 统 的 S lna le 马 蹄 具有 吸 引性 . 利 用 该方法 还可 以构 造其 他 的三维 二 次多 项式 混沌系 统 . 关键 词 同宿 轨道 ; 混 沌系统 ; iS hi ko v 定理 分类号 0 19 1 近 20 年来 , 混 沌 动力 学系统 己 在广泛 的领 域 得到应 用 , 如大脑 神经 网络分 析 、 图像 数 据加 密 、 非线 性 系统 辨识 、 计 算机 图形 处理 、 通 信 和信 息 处理 、 生 物 医学 『l,2J , 因此有 关 混沌 的诱 发 、 控制 与 反控 制 的研 究得 到 了越 来越 多 的关注 . 有 关学 者 开始研 究如 何构 造 新 的混沌 系 统 . 陈关 荣和 吕金 虎在 L o er nz 系 统 的基 础 上 分别 构造 出了 hC en 系 统 和 L v 系 统〔3] , 文 献 4[ ]基 于 is in l k o v 定理 构造 了 一个 三 维二 次 多项 式混 沌 系 统 . 本 文在 is ln 枷 v 定理 的基础 上 , 构 造 了一类 新 的三 维混 沌二 次 多 项式混 沌 系统 . 数值 仿 真表 明该 系 统存在 混沌 吸 引子 . 系 统 , 在构 造 的过 程 中 , 考 查 了一 些经 典 的混 沌 系统 : L 。 化sn 系统 , C h en 川 系 统和 vL 系 统囚 , 发 现 它们 的一 些共 同性 质 , 如 系统在 平衡 点 的雅 可 比 矩 阵 的行 列 式值 小于 零 , 且 特 征 值 有 一 个负 实 根 , 和 一对 具 有正 实 部 的共扼 复 根 . 一 般 的三 维 二次 多 项式 系统 具 有 以下 形式 : 陈 一 全 。 , 、 + 全二+ia 九= 艺 b声丙+ 艺 b沐汁 b 若护= 】 卜 l 允= 艺 c声丙 十艺 c沐汁 c ( 2 ) 勺 = 盆 卜 l 其 中 , 马 , 氏 , 心 , a 、 瓦 , 。 , a , b , c( i, ’=j l , 2, 3) 为 系数 . 构 造 的系 统 形式 如 下 : 、 、, . 少、 户. 4 ù 了 曰I 、.、了 1 S il n iko v 定 理 S InI 彻 v 定 理`, , ` ,设 ’X( ’)t = 月州 )t ( l) 其 中 , 掩孔 x 任 R 3 , :f 牙一牙 且 设 存 在 凡任贾 使 得 力恤J = 0 . 令 J = 切卜 ` ) 是力吮) 在 平衡 点 戈 的雅 可 比 矩 阵 . J 满足 以下 条件 : ( l) J 有 三 个 特 征 根 : a ,产i。 , 其 中 a 0< , 户0, } a } > 刀 , a , 刀 , 。 任 R . (2 )存在 一 条通 过 平衡 点戈 的同宿 轨 道 . 则系 统 ( l) 存在 S m al e 马蹄 的混 沌 . 2 构 造 新 的 混 沌 系 统 为 了构造 一个 满 足 is in 枷 v 定理 的新 的混沌 收稿 日期 : 2 00 4 we 0于 10 修回 日期 : 2 0 0冬11一 11 基 金项 目 : 国家 自然 科学 基金 资助 项 目 困 。 . 6 0 7 4 0 34 , N .o 70 27 10 68 ) ; 高等 学校博 士学 科点专 项科 研基 金资助 项 目 (N .o 2 0 0 2 0 0 80 04 ) 作者 简介 : 朱淑 芹( 19 8 -0 一) , 女 , 硕 士研 究生 ( 3 ) 其 中 , a : 1 , a l Z , a l 3 , a Z , , 仇 2 , a 3 t , a , 2 , b , c 为 实 参 数 . 系 统 (3 ) 的 平衡 点 ( x , , 燕 , 为 )可 由系 统 (3) 解 出 : a , Z b 一 a , 3 a 2详」 口一 口 22一口 一2伪 IX3 丸一土(b +a Z lx 3 ) “ 2 2 其 中 , 花 是 下 面方 程 的 实解 : a l 3a Z , 角粥一 ( a : 3a 22 a 3 1+ b a : l a 32+ e a IZ几 l )x, + e a l l a 2 2 +a 12a 3 l b = 0 (6 ) 因此 式 (4 ) , (5) 和 (6) 确 定 了方程 (3) 的一平 衡 点 , 记 作 O :(x , 戏 , 石) . 于是 得 到系 统 (3) 在平 衡 点 的 雅可 比 矩 阵为 : , } a 11 . J 一 } a ” x ’ 】“ 3 - a 一2 口 13 口 22 山 IX I a 3挤 3 角2工2 ( 7) 其行 列 式值 为 : d e t切= a l ,伪 2a 3丙一 a . ; a Z ,场式。 x3 一 山 : a : Za ,式满+ DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2005. 05. 061