(1)6(G)≥7 对于Y中任意两点u和v,若uuEE(G),则0c。(“,)≤2n-(dc。(u)+dc。(U)≤4，故 对任一点xERc,(u,v),有dc。(x)≥6≥0c。(,v)+2,从而x∈R:。(u,0),放R。(“,) =R。,(u,),于是由引理1可知uw∈E(Go),从而G,(Y门为完全图。再由引理3可知 d。(x)≥n(x∈Y)。对任意一点x,∈X,设Z。={y1y￥。EGE(G)}。由于d(￥o)+d(y)≥ 2n+1(y∈Zo),故do。(￥g)+dc。(y)≥2n-5,从而0c,(xg,y)=2n-dc,(xo)-dc。(y)≤ 5,从而dc,(v)≥7≥6c,(x,y)+2(对任意∈Rc。(x,y),于是∈R台。(x,y),从而 Ro。(xo,y)=Rc。(x,y)。由引理1可知xy∈E(G)。而1Z。l=2n-1-d(x)≥n-1 且2二Y,故da。(x)≥n-1。再由引理2可知对于任一点4∈Y,有x,u∈E(Gg),于是G, 是完全图，故G。有Hamilton圈。从而定理成立。 (2)6(G。)≤6 设dc(w)=d(G),则dc(w)≤9且IRc(w)川≥2n-10≥n+3。由于Rc()中任一点u有 de(u)≥2n-8,故da,(u)≥2n-11,从而GCRc(w)门为完全图。对任意y∈Y,u∈Rc(w),若 vyEE(Ga),则d后。(v)≥2n-11且da。(y)≥n-2,从而de。(o)+da,(y)≥2n,故uy∈ E(G。)于是GCY)为完全图。下面分4种情形来讨论。 ①IX1≥9 在这情形下，G,cX)为Hamiltoni连通，由k(Ga)≥2可知G。为Hamilton图，故G。有 Hamilton圈，于是定理成立。 ②1X1=8,则IYT=2n-8 令Z1=《xdc(x)≥10}，与情形(1)一样可证G〔Z,)为完全图 (1) (a)X中至少有两点u,和u2使得d。(u)≥10(i=1,2)。 这时、对任一点y∈Y,0c。(u1,y)≤2，而6(G0)≥4，故R6(u1,y)=Rc。(“,y), 由引理1可知u,y∈E(G。),因此dn(u,)≥n+6(i=1,2),这时G,〔YU{u1,42}门为完全 图，从而Y中任意一点y,da(y)≥2n-7 (2) 不难证明X-{u1,u2}中至少有一点u3使得d(u3)≥8 (3) 否则：设d(x,)=7(x。∈X-{u1,u2}).令2=ylyx,年E(G)},则d。(y)≥2n-6(y∈ Z),而Zl=2n-8,故ec(X,Y)≤2(n-7),而ec(Y,X)≥3(2n-8),矛盾，因此(3)式成 立。由引理1及(2)、(3)可知u3y∈E(Gg)(对于任一y∈Y).因此，G,〔YU{“1,42,“}〕为 完全图，这时da,(y)≥2n-6（y∈Y),再由引理1可知G,为完全图，故G。有Hamilton圈。 (b)X中至多有一点u。使得c(u,)≥10 这时d(G)≥8（否则若6(G)=7,设d(w)=7,那么|R。(w)川=2n-8,dc(y)≥2n-6 (y∈Rc(w).由于|Y1=2n-8,故ec(Y,X)≥3(2n-8),ec(Y,X)≤n-7+12+1=n+6,矛 盾)，从而d(G。)≥5.由k(G,)≥2，可知Y中至少有两点y:和yz使得do(y:)≥2n-8(i= 1,2).由引理1可证明y,在G。中与所有点都相邻，因此(G。)≥6，再由引理1可知G。为 完全图，故定理成立。 ③5≤X!≤？这情形类似于(b)可证定理成立。 ④1X≤4则1Y1≥2n-4.由6(G,)≥4及引理2可知G。为完全图。故定理成 立。 486。 对于 中任意 两点“ 和 ， 若 “ ， 百 ， 则 。 。 ‘ ， 镇 一 。 。 “ 。 。 ” ， 故 对任一点“ 任 。 。 ， “ ， 有 。 。 。 “ ， “ ， 从而‘ 任 丢 。 “ ，” ， 故 丢。 ， “ 二 凡 。 ， “ ， 于是 由 引理 可知 。 。 〔 瓦 ， 从而万 。 〔 〕为完全图 。 再 由 引 理 可 知 心 。 幻 ” “ 任 。 对任意一点二 。 任 ， 设 。 二 沙 气 任 。 由于 二 。 夕 任 。 ， 故 。 。 ‘ 。 。 一 ， 从而 。 。 “ 。 ， 二 ” 一 ‘ 。 。 一 。 。 ， 从而 。 。 “ 。 。 。 ， 对任意 任 。 。 。 ， ， 于是“ 任 丢 。 。 ， ，从而 。 。 ‘ 。 ， 二 。 。 。 ， ， 。 由引理 可知 〔 。 。 而 二 “ “ 一 少 。 二 且 。 二 ， 故心 。 ‘ 。 ” 一 再由引理 可知对于任一点“ 〔 ， 有 “ 任 。 ， 于是 。 是完全图 ， 故 。 有 圈 。 从而定 理 成立 。 。 落 设 ‘ 。 二 ， 则 ‘ 。 且 。 二 一 ” 。 由于 。 〔二 中任一点 有 。 》 卜 ， 故 。 一 ， 从而 。 〔 。 〕为完全图 。 对任意 任 ， ” 任 。 “ ，若 ，百 。 ， 则 〔 ， 一 且 妻 。 一 ， 从而 叮 。 。 。 。 ， 故 任 。 于是 。 〔 〕为完全图 。 下 面分 种情形 来讨论 。 ① 川 在 这情形下 ， 。 〔 〕为 连 通 ， 由‘ 。 可知 。 为 图 ， 故 。 有 圈 ， 于是定 理成立 。 ② ， 则 二 ” 一 令 谧 。 ， 与情形 一样可证 。 〔 〕为完全图 中至少 有两点 “ 和。 使得 ‘ 。 ‘ ‘ ， 。 这时 · 对任一点 夕 〔 ， 。 。 。 ， ， 夕 ， 而 ‘ 。 ， 故 吕 。 “ ‘ ， 。 。 “ ‘ ， ， 由引理 可知“ ‘ ‘ 。 ， 因此 。 “ ‘ ， ， 这 时 ‘ 。 〔 口 “ ，， “ 〕为完全 图 ， 从而 中任意一点’ 。 妻 “ 一 不难 证 明 一 。 ， 中至少 有一点 使得 。 否则 设 。 。 〔 一 ， ， 。 。 令 孟二 伽 夕 。 去 ， 则 。 一 少 任 孟 ， 而 孟 一 ， 故 。 ， 成 一 ， 而 。 ， 一 ， 矛盾 ， 因此 式 成 立 。 由引理 及 、 可知 夕 任 。 对于 任一夕 任 。 因此 ， 。 〔 ， 。 ， 。 〕 为 完全图 ， 这时 。 一 任 ， 再 由引理 可知 。 为 完全图 ， 故 。 有 “ 。 “ 圈 。 中至多 有一点 “ 。 使得 苗。 。 。 这时 否则若 ， 设 二 ， 那么 。 。 一 ， ‘ 夕 妻 。 一 夕 〔 。 。 由于 一 ， 故 ， 一 ， 。 ， 一 二 ， 矛 盾 ，从而 。 由以 。 ， 可知 中至少 有两点 和 使得 心 。 ， 一 ‘ 二 ， 。 由引理 可证 明 ‘ 在 。 中与所有点都相邻 ， 因此叔 。 ， 再 由引理 可知 。 为 完全图 ， 故定理 成立 。 ③ 这情形类似于 可证定理成立 。 ④ 镇 则 州 。 一 由 叔 。 及 引理 可知 。 为完全 图 。 故 定 理 成 立