中国科学院数学与系统科学研究院 2006年硕士研究生招生初试试题 考试科目:数学分析(学科代码310) (3小时完成,满分150分) 注:所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上或草稿纸上一律无效。 1(15分)求a,b使下列函数在x=0处可导 +b当x≥0 1当 2(15分)已知an>0,级数∑m=1÷发散,求证级数∑=1a+也发散。 3(15分)设m,n≥0为整数,求积分/xm(1-aydx的值 4(15分)设a>0,f(x)是[-a,q]上的连续的偶函数,则 f(ar) 1+er 5(15分)设函数f(x)在含有[a,b的某个开区间内二次可导且f(a)=f(b)=0,则存在 ￡∈(a,b)使得 4 If (b)-f(a) 6(15分)设实值函数f(x)及其一阶导数在区间叵a,b上均连续,而且f(a)=0,则 ma. /(a)< b-a( 1r(Pdo)/2 f2(r)drs(b-a)2/1/ (2)12c 7(15分)设n是平面区域D的正向边界线C的外法向,则 m…=/m 8(5分)设曲线r:+=1的周长和所围成的面积分别是L和S,还令J=乐1(2n2+ 2xy+a2y2)ds,则J=52 9(5分)计算积分的值,并证明它也等于数项级数∑=1-m2的和, 10(15分)求曲线x=acos3t,y=asin3t(a>0)绕直线y=x旋转所成的曲面的表面积￾✂✁✂✄✂☎✂✆✂✝✂☎✟✞✟✠✟✡✟✄✟☎✟☛✟☞✟✆ 2006 ✌✂✍✂✎☛✂☞✂✏✂✑✟✏✟✒✟✓✟✓✟✔ ✕✗✖✗✘✚✙✜✛✣✢✗✤✗✥✗✦★✧✩✤✗✘✗✪✗✫ 310 ✬ (3 ✭✗✮✗✯✗✰✗✱✣✲✥ 150 ✥ ) ✳✛✣✴✗✵✗✶✗✷✗✸✗✹✗✺✗✻✗✶✗✼✗✽✗✾✱ ✺✗✻✗✿✗❀✗✾✗❁✗❂✗❃✗✽✗✾✗❄✗❅✗❆✗❇✗❈ 1 (15 ❉) ❊ a, b ❋❍●❍■❍❏❍❑❍▲ x = 0 ▼❍◆❍❖❍P y =    ax + b ◗ x ≥ 0; x 2 + 1 ◗ x < 0. 2 (15 ❉) ❘❚❙ an > 0, ❯❍❑ P∞ n=1 1 an ❱❍❲❍❳ ❊❍❨❍❯❍❑ P∞ n=1 1 an+1 ❩❱❍❲❍❬ 3 (15 ❉) ❭ m, n ≥ 0 ❪❍❫❍❑❳ ❊❍❴❍❉ R 1 0 x m(1 − x) ndx ❵❍❛❬ 4 (15 ❉) ❭ a > 0, f(x) ❜ [−a, a] ❝❍❵❍❞❍❡❍❵❍❢❍❏❍❑❳❤❣ Z a −a f(x) 1 + e x dx = Z a 0 f(x)dx. 5 (15 ❉) ❭✐❏✐❑ f(x) ▲✐❥✐❦ [a, b] ❵✐❧✐♠✐♥♣♦✐q✐rts✈✉✐◆✈❖✈✇ f 0 (a) = f 0 (b) = 0, ❣✐①▲ ξ ∈ (a, b) ❋❍② |f 00(ξ)| ≥ 4 (b − a) 2 |f(b) − f(a)|. 6 (15 ❉) ❭❍③❍❛❍❏❍❑ f(x) ④❍⑤❍⑥❍⑦❍❖❍❑❍▲⑧♦❍q [a, b] ❝❍⑨❍❞❍❡❳❤⑩✇ f(a) = 0, ❣ max x∈[a,b] |f(x)| ≤ √ b − a( Z b a |f 0 (t)| 2 dt) 1/2 , Z b a f 2 (x)dx ≤ 1 2 (b − a) 2 Z b a |f 0 (x)| 2 dx. 7 (15 ❉) ❭ n ❜❍❶❍❷⑧♦❚❸ D ❵❍❹⑧❺❚❻❍❼❍❽ C ❵❍❾❍❿⑧❺❳❤❣ I C ∂u ∂n ds = ZZ D ( ∂ 2u ∂x 2 + ∂ 2u ∂y 2 )dxdy. 8 (15 ❉) ❭⑧➀❚❽ Γ : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ❵❍➁❍➂❍➃❍➄⑧➅❚➆❍❵✐❷✐❴✐❉❍➇✐❜ L ➃ S, ➈❍➉ J = H Γ (b 2x 2 + 2xy + a 2y 2 )ds, ❣ J = S 2L π2 ❬ 9 (15 ❉) ➊❍➋❍❴❍❉ R 1 0 dx 1+x3 ❵❍❛❳❤➌❨⑧➍❚➎❩❍➏❍➐❑❍➑✐❯✐❑ P∞ n=1 (−1)n−1 3n−2 ❵❍➃❬ 10 (15 ❉➓➒➔❊⑧➀❚❽ x = a cos3 t, y = a sin3 t(a > 0) →❍➣❍❽ y = x ↔❍↕❍➄❍➆❍❵⑧➀❚❷❍❵❍➙❍❷✐❴❬ 1