.300 附录A IEEE浮点运算标准 William Kahan由于在浮点运算标准的制定上的杰出贡献，于1990年1月获得了图灵奖。 通常一个浮点数由符号、尾数、基和指数组成，如： -0.3141592610×102,0.101012×23 这里要求小数点前面为零，小数点后面的数称为尾数.若尾数的首位数字不为0时，我们称其为正 规数（咸规范化数，否则称为次正规数（咸非规范化数）.如0.31410×102是正规数，而0.0031410 10是次正规数.正规化表示方法可以使得每个浮点数的表示方式唯一，而且可以空出一个位置， 使得表示精度更高 ·1EEE754标准中定义了表示浮点数的四种格式： 两种基本的浮点数：单精度(32位字长)和双精度(64位字长). 其中单精度格式具有24位有效数字（二进制，而双精度格式具有53位有效数字（二进 制，相对于十进制来说，分别是7位(224≈10和16位(23≈1016)有效数字 两种扩展的浮点数：单精度扩展和双精度扩展 IEEE754标准中并未规定扩展格式的精度和大小，但它指定了最小精度和字长：单精度 扩展需43位字长以上，双精确度扩展需79位字长以上(64位有效数字).单精度扩展很 少使用，而对于双精确度扩展，不同的机器架构中有若不同的规定，有的为80位字长（如 X86,有的为128位字长（如SPARC.) ·一般来说，描述一个浮点数的三个基本要素为： 基：计算机一般都以2为基 尾数的位数：确定有效数字的位数，即精度 ·指数的位数：确定所能表示的数的范围 ·在EEE754标准中，浮点数是用二进制表示的，由三部分组成：符号(gn,其值用s表示)，指 数(exponent,其值用e表示)和尾数（任raction,其值用f表示，见图AL.单精度数占32位字长 (4个字节，第1位是符号位，第2至9位(8位字长)是指数位，最后23位是尾数.双精度数占 64位字长(8个字节)，第1位是符号位，第2至12位(11位字长)是指数位，最后52位是尾数 EEE单精度 1 8 23 符号十 指数 数 (s ( (f) IEE双精度 1 11 52 图A1.EEE754中单精度格式与双精度格式的位模式 ·单精度格式：用8位字长的二进制数来表示指数，因此e的取值范围为[0,25.当0≤e< 255时，按单精度格式存储的数，其对应的值是使用以下方法得到的： http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 仅供课堂教学使用，请勿外传 · 300 · 附录 A IEEE 浮点运算标准 b William Kahan 由于在浮点运算标准的制定上的杰出贡献, 于 1990 年 1 月获得了图灵奖. 通常一个浮点数由符号、尾数、基和指数组成, 如: −0.3141592610 × 102 , 0.101012 × 2 3 . 这里要求小数点前面为零, 小数点后面的数称为尾数. 若尾数的首位数字不为 0 时, 我们称其为正 规数 (或规范化数), 否则称为次正规数 (或非规范化数). 如 0.31410 ×102 是正规数, 而 0.0031410 × 104 是次正规数. 正规化表示方法可以使得每个浮点数的表示方式唯一, 而且可以空出一个位置, 使得表示精度更高. • IEEE 754 标准中定义了表示浮点数的四种格式: ­ 两种基本的浮点数: 单精度 (32 位字长) 和双精度 (64 位字长). 其中单精度格式具有 24 位有效数字 (二进制), 而双精度格式具有 53 位有效数字 (二进 制), 相对于十进制来说, 分别是 7 位 (2 24 ≈ 107 ) 和 16 位 (2 53 ≈ 1016) 有效数字. ­ 两种扩展的浮点数: 单精度扩展和双精度扩展. IEEE 754 标准中并未规定扩展格式的精度和大小, 但它指定了最小精度和字长: 单精度 扩展需 43 位字长以上, 双精确度扩展需 79 位字长以上 (64 位有效数字). 单精度扩展很 少使用, 而对于双精确度扩展, 不同的机器架构中有着不同的规定, 有的为 80 位字长 (如 X86), 有的为 128 位字长 (如 SPARC). • 一般来说, 描述一个浮点数的三个基本要素为: ­ 基: 计算机一般都以 2 为基; ­ 尾数的位数: 确定有效数字的位数, 即精度; ­ 指数的位数: 确定所能表示的数的范围. • 在 IEEE 754 标准中, 浮点数是用二进制表示的, 由三部分组成: 符号 (sign, 其值用 s 表示), 指 数 (exponent, 其值用 e 表示) 和尾数 (fraction, 其值用 f 表示), 见图 A.1. 单精度数占 32 位字长 (4 个字节), 第 1 位是符号位, 第 2 至 9 位 (8 位字长) 是指数位, 最后 23 位是尾数. 双精度数占 64 位字长 (8 个字节), 第 1 位是符号位, 第 2 至 12 位 (11 位字长) 是指数位, 最后 52 位是尾数. 图 A.1. IEEE 754 中单精度格式与双精度格式的 位模式 • 单精度格式: 用 8 位字长的二进制数来表示指数, 因此 e 的取值范围为 [0, 255]. 当 0 ≤ e < 255 时, 按单精度格式存储的数, 其对应的值是使用以下方法得到的: http://math.ecnu.edu.cn/~jypan