2角动量的一般性质 力学量的一般定义由对易关系确定。例如坐标和动量的定义是 元]=0,[,=0,[元,]=h, 不依赖于表象 角动量J的一般定义由其对易关系确定: 或者 ihe 满足该定义的力学量为角动量。 定义 J=J2+J2+ 以下用类似于求解谐振子本征值的代数方法来求解2,的本征值 1)[][]=[]+[=1+b Juk+iheki k=ihewk k - Jk 此处用到了c的反对称性质:c=-Em。故2与有共同本征函数 因为2不仅仅依赖于J,共同本征态至少应有两个量子数,记为m)。量子数一般 无量纲。考虑到2和J的量纲,于是: J2|.m)=12.m),,m=m,m 问题:4=?,m 2)构造新的算符组 J+=J+i,2.角动量的一般性质 力学量的一般定义由对易关系确定。例如坐标和动量的定义是 ˆ ˆ , 0, ˆ , ˆ 0, ˆ , ˆ i j i j i j ij ⎡ ⎤ x x p = = ⎡ p ⎤ ⎡x p ⎤ δ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = i= ˆ i ， 不依赖于表象。 角动量 的一般定义由其对易关系确定： ˆ J G ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ , x y z y z x z x y J J i J J J i J J J i J J J i J ⎡ ⎤ = ⎫ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ = × ⎬ = ⎣ ⎦ ⎪ ⎡ ⎤ = ⎪ ⎣ ⎦ ⎭ = G G G = = = ， 或者 ˆ ˆ ˆ ,i j ijk k ⎡ ⎤ J J = i ε J ⎣ ⎦ = ， 满足该定义的力学量为角动量。 定义 ˆ 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ x y z i J J =++= J J J J G 。 以下用类似于求解谐振子本征值的代数方法来求解 ˆ 2 ˆ , z J J G 的本征值。 1） ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , , , j i i j i i j i j i ijk i k ijk k i J J J J J J J J J J J i ε ε J J i J J ⎡ ⎤ = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G = = ˆ =+=−= i= = ε ε ijk J ˆ ˆ i Jk i kji J J ˆ ˆ i k i=ε ijk J ˆ ˆ i Jk i=ε ijk J J ˆ ˆ i k 0 ， 此处用到了ε ijk 的反对称性质：ε ijk = −ε jik 。故 ˆ 2 J G 与 J ˆ z 有共同本征函数。 因为 2 不仅仅依赖于 ，共同本征态至少应有两个量子数，记为 ˆ J G ˆ z J λ,m 。量子数一般 无量纲。考虑到 和 的量纲，于是： ˆ 2 J G ˆ z J ˆ 2 2 J m λ λ , , = λ m G = ， ˆ , , z J m λ = m= λ m ， 问题：λ = = ?,m ? 2）构造新的算符组 ， ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , ˆ x y x y z x y z J J iJ J J J J J iJ J J + + − + ⎧ = + ⎪⎪ → = ⎨ − = ⎪ ⎪⎩ 1