1=元2-2+M),小=-12-,=1(+)+ 有新的对易关系:[,小]=2,[小]=10,[2]=M []-[]-[户小 =0 3)(4,m|72-721,m)=(4,m|7,+JJ+|,m) (2-m2)h2(m12m)=1m1.m)+2(m:5,2.m)20 故λ≥ J2小,m)=J,21.m)=2+2,m) 12m)=(10.+小)m)=(m+1)1,12m) Jn 2|,m)=h2 小1m)=(-1+川2,m)=(m-1)12m 说明:若|1.m)是,)2的共同本征态,则小,1.m),2m)也是它们的共同本征态。这 些本征值和本征态的关系为 共同本征态 J本征值 J2本征值 (.)12m) m+2)h J (m+1)h Aλ,m) 72|1.m) (m-1)h ()12m 故称J为下降算符,J为上升算符。 结合上面的结论,有: 2的本征值为n2 J得本征值为(,…,m-1,m,m+1,…, 有最大值与最小值的原因是A≥j2,A≥P2。( ) ˆ ˆ 2 2 2 2 ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , 2 z z z z 2 z J J J J J J J J J J J J J J J J + − = − + − + = − − = + − + − + + G G G ∵ = = ∴有新的对易关系： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 2 , , , , , z z z J J J J J J J J J + − − − + + ⎡ ⎤ = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = = = = = 0 ˆ ˆ 222 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , z J J J J J J + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ G G G 3） ˆ 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , 2 m J z λ λ − = J m λ m J+ − J + J − J+ m G ˆ λ, ( ) 2 2 0 0 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , , , , 2 2 λ λ m m λ m λ m J J λ m λ m J J λ m + + − − + + ≥ ≥ − = = + ≥ 0， 故 2 λ ≥ m 4） ( ) ( ) ˆ ˆ 2 2 2 ˆ ˆ ˆ , , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , 1 z z J J m J J m J m J J m J J J m m J m λ λ λ λ λ λ + + + + + + + ⎧ ⎪ = = ⎨ ⎪ = + = + ⎩ G G = = = λ, ( ) ( ) ˆ ˆ 2 2 2 ˆ ˆ ˆ , , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , 1 z z J J m J J m J m J J m J J J m m J m λ λ λ λ λ λ − − − − − − − ⎧ = = ⎪ = − + = − λ, ⎩ G G = = = ⎪ ⎨ 说明：若 λ,m 是 2 ， 的共同本征态，则 ˆ J G ˆ z J ˆ ˆ J m + λ, , J− λ,m 也是它们的共同本征态。这 些本征值和本征态的关系为： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ , 2 ˆ , 1 , z J J J m m J m m m m λ λ λ λ λ + + + + G # # = = = = = 共同本征态 本征值 本征值 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ˆ , 1 ˆ , 2 J m m J m m λ λ λ λ λ − − − − = = = = = # # # # 故称 J ˆ − 为下降算符， J ˆ + 为上升算符。 结合上面的结论，有： ˆ 2 J G 的本征值为λ=2 ； ˆ z J 得本征值为( j′, , " " m m − + 1, , m 1, j)= ， 有最大值与最小值的原因是 2 2 λ ≥ ≥ j , λ j ' 。 2