Vol.22N0.4 李启楷等：Koch曲线与分维测量 ·357· 分维值，除了选择下限尺度相等或相近的岛组 参考文献 外，还应使岛组中各岛的轮廓尽量相似， 1 Mandelbrot BB,Passoja D E,Paulley A J.Fractal Charac- (2)对Koch曲线岛采用周长一最大直径等 ter of Fracture Surfaces of Metals.Nature,1984,308(19): 方法可获得其周界的分维理论值l0g34.当其周 721 界嵌套层次在18层以上时，由周长一面积方法 2 Pande C S,Richards L E,Louat N,et al.Fractal Character- 也可以获得理论分维值.考虑到实际图像分析 ization of Fractured Surfaces.Acta Metall,1987,35(7): 1633 误差，嵌套层次达到8层时，周长一面积方法仍 3穆在勤，龙期威.金属断裂表面的分形(Fractal)与断 为获得理想分维值的有效方法.对于初始图形 裂韧性.金属学报，1988，A24(2):142 为正n边形的Koch曲线岛，随着n的增大，由周4 Wang Xiaowei,,Dong Lianke,Xiong Lianggue.Fractal Di-- 长-面积方法获得理论分维值所要求的嵌套层 mensionality and Critical Extension Force.J Phys:Cond- 次减少. ens Matter,1990,2:3879 5 Zhou X Y,Chen D L,Ke W,et al.Fractal Characteristics of (3)对所谓修改的Koch曲线岛，参量a是标 Pitting under Cyclic Loading.Materials Letter,1989,7: 志实测分维值与理想分维值偏离程度的一种度 473 量，a越小，则实测分维值偏离理想分维值越远， 6穆在勤，龙期威，康雁.测量断口分维的周长一最大直 对于实际材料，测量分维时，为了使实测分维值 径方法.材料科学进展，1992,6(3)：227 尽量接近理想分维值，应尽量选择具有相同组 7龙期威，穆在勤.有限层次分形结构和固体断裂行为， 织类型的岛组. 中国科学，1994,24(1)：94 8张跃，王中怀，褚武扬，等.用STM研究金属间化合物脆 (4)目前在纳米度域测量表面形貌的主要手 断表面的纳米尺度特征与分形维数.中国科学(A辑)， 段是扫描隧道显微镜(STM).用STM测量时， 1995,25(6):659 扫描象素点范围一般都限制在512×512.在如此 9李启楷，张跃，褚武扬，等，纳米度域材料断口的分形 小的测量范围内，不可能存在嵌套层次在18层 结构与分维测量.中国科学(A辑)，1999,29(4)：249 以上的岛组，即便是考虑到允许一定的实验误 10 Mandelbrot BB.The Fractal Geometry of Nature.San Fra- sisco:Freeman,1983 差或由于岛组的形状因素的影响，嵌套层次也 1!李学良，林建新.易切削钢冲击断口分维的随机分形 应达到8层左右.可见，在纳米度域下，要在某 分析.金属学报，1994,30：380 一截面内获得足够数量的小岛截面是困难的. 12赵咏秋，李玉清，冯永和.Koch分形曲线岛的构造方 因此，剖面小岛法不是适合于纳米度域的分维 式与维数.中国体视学与图像分析，1997,2(1)：6 测量方法 13李玉清，赵咏秋.自相似结构组合的真伪分维及真分 维的测量.中国体视学与图像分析，1996,1(3,4)：26 致谢：本研究工作得到国家自然科学基金和教育部跨世 14 Falconer K J.Fractal Geometry,Mathematical Foundation 纪人才基金资助，在此表示感谢， and Application.London:John Wiley and Sons,1990 Koch Curve and Fractal Dimension Determination LI Qikai,ZHANG Yue,LI Jizhong,LIU Binghai,LI Yuqing,ZHAO Yongqiou 1)Material Science and Engineering,UST Beijing,Beijing 100083,China 2)East China University of Science and Technology,Shanghai 200237,China 3)Daye Special Steel Co.Ltd.Huangshi 435001,China ABSTRACT A study has been done on the accuracy and reliability of fractal dimensions determined through slit island methods by employing Koch curves.The effects of various constructing factors such as initial size length,shape and looping level on the fractal dimension determination have been investigated.Asa result it is proposed that the slit island methods should not be used in the fractal dimension determination at nanometer scale KEY WORDS fractal:fractal dimension;Koch curve:fractal dimension determination;nanometer scale李 启 楷 等 曲线 与 分维 测 量 分维 值 ， 除 了选择 下 限尺 度 相 等或 相 近 的 岛组 外 ， 还应 使 岛组 中各 岛 的轮 廓 尽量 相 似 对 曲线 岛采用 周 长一最 大直 径 等 方 法 可 获得 其 周 界 的分 维理 论 值 ‘ 当其 周 界 嵌套层 次在 层 以上 时 ， 由周 长一面积 方 法 也 可 以获 得理论 分 维值 考虑 到 实际 图像 分析 误 差 ， 嵌套层 次达 到 层 时 ， 周 长一面 积 方 法 仍 为获得 理想 分 维值 的有 效方 法 对 于 初 始 图形 为正 边形 的 曲线 岛 ， 随着 的增 大 ， 由周 长 一 面 积 方 法 获 得 理 论 分 维 值 所 要 求 的嵌套 层 次减 少 对 所 谓 修 改 的 曲线 岛 ， 参 量 是 标 志 实测分 维值 与理想 分 维值偏离程 度 的一 种度 量 ， 越小 ， 则实测 分维值偏离理想 分维值越远 对于 实 际材料 ， 侧 量 分 维 时 ， 为 了使实测 分 维值 尽 量 接近 理 想 分 维值 ， 应 尽 量 选 择 具 有 相 同组 织 类 型 的 岛组 目前在纳米度域测 量表 面 形 貌 的主 要 手 段 是 扫 描 隧道 显 微镜 用 测 量 时 ， 扫 描象素 点范 围一 般都 限制在 “ 在 如此 小 的测 量 范 围 内 ， 不 可 能存 在 嵌 套层 次在 层 以上 的 岛组 即便 是 考虑 到 允许 一 定 的实验误 差 或 由于 岛组 的形 状 因素 的影 响 ， 嵌 套层 次 也 应达 到 层 左 右 可 见 ， 在 纳米度域 下 ， 要 在某 一 截面 内获得 足 够 数 量 的 小 岛截 面 是 困难 的 因此 ， 剖面 小 岛法 不 是 适合 于 纳米度 域 的分维 测 量 方 法 致谢 本研 究工 作得到 国家 自然科 学基金 和 教育部跨世 纪人才基金 资助 ， 在此表 示 感 谢 参 考 文 献 ， ， ， ， ， 形 ， ， ， ， 穆在 勤 ， 龙期威 金 属 断裂表面 的分形 任 与断 裂 韧性 金属 学报 ， ， 面 ， ， ， ， 丫 ， ， ， ， 穆在勤 ， 龙期威 ， 康雁 测量 断 口 分维 的周 长 一 最大直 径方 法 材料科学进展 ， ， 龙期威 ， 穆在勤 有限层 次分形 结构和 固体 断裂行 为 中国科 学 ， ， 张跃 ， 王 中怀 ，褚武扬 ， 等 用 研 究金 属 间化合 物脆 断表 面 的纳米尺 度特 征 与分 形 维数 中国科 学 辑， ， 李启 楷 ， 张 跃 ， 褚 武扬 ，等 纳 米度域材 料 断 口 的 分 形 结构与分维测量 ， 中国科学 辑 ， ， · ， 李学 良 ， 林建新 易切削钢冲击 断 口 分维的随机分形 分 析 金 属 学报 ， ， 赵 咏秋 ， 李 玉 清 ， 冯 永和 分 形 曲线 岛的构造 方 式与维数 中国体视 学与 图像分析 ， ， 李玉清 ， 赵 咏秋 自相 似 结构 组 合 的真伪 分维 及真 分 维 的测量 中 国体视 学与 图像 分析 ， ， ， ， ， ，气 刁刃 ，’， “ 几 馆 ，’ ， 刀 矛几 叮 心气 厅项 ，’ ， ， ， 卧 ， 沐 ， ， 而 ， 而 一 丘