即 fn(t)→e-2 中心极限定理中独立同分布的条件是很强的要求,下面给出另一个定 定理( Lindeberg- Feller)设X1,X2,…是相互独立的随机变量,记 4=EX,娱=Vamx,B2=∑ k=1 如果 Lindeberg条件成立,即对任意的e>0,都有 lim B (ar -ak)dFk(a 则对任意的x,有 lim P( Xk-ak)≤x)=重(x) 在Xn为相互独立的随机变量列的前提下, Lindeberg条件不仅仅是中 心极限定理成立的充分条件,也差不多是必要条件。确切的说,要加上下面 两个条件: lim B n→ 6大数定律与强大数定律 先给出弱大数定律 定理( Chebysher)设{Xn,n≥1}是相互独立的随机变量列,若对一切 k有 VarXk≤C,则对任意的ε>0,都有 es |≥)→0(n→∞) 其中,SnCh5 2 ❛ fn(t) → e − t 2 2 . ✯❜✰❱✚❱✜❱✢❱✣❙✯❜✳❱✴❙✵❝✙❞✶❱★❞❡❞❢❱✬❞❣❞❤❞★❱P❞✐❥✍✘✭❞✮❞❦♠❧❜♥❞✦❞♦❞✢ ✣✎❊ ✝☎✞ (Lindeberg − Feller) ✲ X1, X2, · · · ✬☎♣☎q☎✳☎✴☎★☎✷☎✸✹☎✺✍✽▲ ak = EXk, b 2 k = VarXk, B 2 n = Xn k=1 b 2 k , r☎s Lindeberg ❡☎❢☎t☎✴✎✍ ❛✾☎✿✛❀✛★ ε > 0 ✍ ❁ ❂ limn→∞ 1 B2 n Xn k=1 Z |x−ak|>εBn (x − ak) 2 dFk(x) = 0, ✼☎✾☎✿☎❀☎★ x ✍ ❂ limn→∞ P ￾ 1 Bn Xn k=1 (Xk − ak) 6 x
= Φ(x). ✉ Xn ✥☎♣☎q☎✳☎✴☎★☎✷✛✸✹❱✺✛✻★✛✈✛✇✛✭❚✍ Lindeberg ❡☎❢☎①☎②☎②☎✬✖✯ ✰☎✚☎✜☎✢☎✣☎t☎✴✛★☎③✛✙✛❡✛❢❚✍④❋✛⑤✛①✛⑥✛✬✛⑦✛P☎❡✛❢❚❊⑨⑧✛⑩✛★☎●❚✍⑨P✛❶✛❷✛✭☎✮ ❸☎♦☎❡☎❢✩✱ limn→∞ Bn = ∞, limn→ bn Bn = 0. §6 ❹☎❺✝☎❻☎❼☎❽❹☎❺✝☎❻ ❾❦✖❧✂❿☎➀☎✌☎✢☎➁✎❊ ✝❆✞ (Chebyshev) ✲ {Xn, n > 1} ✬❆♣❆q❆✳❆✴✛★☎✷☎✸✹☎✺✛✻ ✍✑➂☎✾✛✦☎⑩ k ❂ VarXk 6 C ✍✫✼☎✾☎✿☎❀☎★ ε > 0 ✍ ❁ ❂ P ￾ | Sn − ESn n | > ε
→ 0 (n → ∞). ❃✯❄✍ Sn = Xn k=1 Xk ❊ 2