5中心极限定理 利用特征函数,可以得到比积分极限定理更为一般的极限定理,就是下 面的中心极限定理: 定理( Lindeberg-Levy)设X1,X2,……,Xn,…是独立同分布的随机 变量列,EX1=p,VarX1=a2>0,Sn=X1+…+Xn,则对任意的x都 有 lim ≤x)=(x) S 其中,()是标准正态分布的分布函数,也就是说,(m依分布收敛到 标准正态分布 证记 则原命题就是要证明Zn依分布收敛到正态分布,也就是要证明Zn的 特征函数收敛到标准正态分布的特征函数 记它的特征函数为f(t)。由X1,……,Xn独立同分布知Zn的特征函数为 fn(t)=f( √n 由于EX1=,VarX1=a2,故EY=0,VarY=1.于是就有 f(0)=iEY=0,f(0)=i2EY2=-1 由 Taylor公式 f()=1--+o(t2), 于是就有 ln(0)=nhn(1-2n+0(7)Ch5 1 §5 ￾✂✁☎✄☎✆☎✝☎✞ ✟☎✠☎✡☎☛☎☞☎✌✎✍✑✏☎✒☎✓☎✔✖✕✘✗☎✙✛✚☎✜✛✢☎✣✛✤☎✥✛✦☎✧✛★☎✚✛✜☎✢✛✣✩✍✫✪☎✬✛✭ ✮☎★✖✯✂✰☎✚☎✜☎✢☎✣✩✱ ✝☎✞ (Lindeberg − Levy) ✲ X1, X2, · · · , Xn, · · · ✬☎✳☎✴✖✵✂✙☎✶☎★✛✷✛✸ ✹☎✺☎✻ ✍ EX1 = µ ✍ VarX1 = σ 2 > 0 ✍ Sn = X1 + · · · + Xn ✍✽✼☎✾☎✿☎❀☎★ x ❁ ❂ limn→∞ P ￾Sn − nµ √ nσ2 6 x
= Φ(x). ❃✯❄✍ Φ(x) ✬❆❅❆❇❆❈❆❉☎✙✛✶☎★✛✙☎✶✛☞☎✌✩❊✫❋☎✪☎✬✛●✩✍ Sn − nµ √ nσ2 ❍✙❆✶❆■❆❏☎✔ ❅☎❇☎❈☎❉☎✙☎✶✎❊ ❑ ▲ Zn = Sn − nµ √ nσ2 , ✼☎▼☎◆☎❖☎✪☎✬☎P✛◗❙❘ Zn ❍✙☎✶☎■☎❏☎✔✛❈✛❉✛✙✛✶❚✍❯❋✛✪✛✬✛P❱◗❲❘ Zn ★ ✡☎☛☎☞☎✌☎■☎❏☎✔☎❅☎❇☎❈✛❉✛✙☎✶✛★☎✡✛☛✛☞☎✌✩❊ ❳ Y = X1 − µ σ , ▲☎❨☎★☎✡☎☛☎☞☎✌☎✥ f(t) ❊❬❩ X1, · · · , Xn ✳☎✴✖✵✂✙☎✶☎❭ Zn ★☎✡☎☛☎☞☎✌☎✥ fn(t) = ￾ f ￾ t √ n

n . ❩✂❪ EX1 = µ ✍ VarX1 = σ 2 ✍✫❫ EY = 0 ✍ VarY = 1 ❊✫❪☎✬☎✪❂ f 0 (0) = iEY = 0, f ” (0) = i 2EY 2 = −1. ❩ Taylor ❴☎❵ f(t) = 1 − t 2 2 + o(t 2 ), ❪☎✬☎✪❂ lnfn(t) = nln￾ 1 − t 2 2n + o ￾t 2 n

→ − t 2 2 (n → ∞), 1