第一讲整体与部分1 姚正安 数学分析的概念常常是由局部到整体然后再从整体回到局部(如区间上函数的连续 可微性),所以在数学分析的证明和计算中常常是将整体问题分成几个局部问题来分别证 和计算,本讲着重探讨这方面的证明方法 §11子序列问题 在数列的收敛与发散中常常用子序列的敛散性来进行讨论,也就是用部分序列的性质 来探讨整体序列的性质 问题111数列xn收敛的充要条件是x2n、x2收敛到同一极限 【分析】此问题实际上是探讨整体序列xn与两个部分序列x2n、x2n1之间的收敛关系 【证明】必要性设lmxn=x,则任给E>0,找得到正整数N,当n>N时,有 xn-xk<E.此时对2N,当2n>2N时也有|x2n-xkE,亦即limx2n=x.同理可证 Im xumi=x 充分性设imx2n=imx2n+1=x,则对任给E>0,找得到正整数N1,当n>N, 时有 Ix2n-xks 同时可找到正整数N2,当n>N2时,有 X<E 从而取N=max{2N1,2N2+1},当n>N时n为偶数,则满足①n为奇数,则满足②,即当nN时,有 xn-xkE,亦即 lim x=x 问题112设x=∑(-)4且满足: (1)l1≥l2…≥lk≥lk+12 (2) 则lmxn存在第一讲 整体与部分 1 姚正安 数学分析的概念常常是由局部到整体然后再从整体回到局部（如区间上函数的连续、 可微性）, 所以在数学分析的证明和计算中常常是将整体问题分成几个局部问题来分别证明 和计算, 本讲着重探讨这方面的证明方法. §1.1 子序列问题 在数列的收敛与发散中常常用子序列的敛散性来进行讨论, 也就是用部分序列的性质 来探讨整体序列的性质. 问题 1.1.1 数列 n x 收敛的充要条件是 n x2 、 2n+1 x 收敛到同一极限. 【分析】此问题实际上是探讨整体序列 n x 与两个部分序列 n x2 、 2n+1 x 之间的收敛关系. 【证明】必要性 设 x x n n = → lim , 则任给   0 , 找得到正整数 N, 当 n  N 时, 有 | x − x |  n . 此时对 2N, 当 2n>2N 时也 有 | − |  2 x x n , 亦即 x x n n = → 2 lim . 同理 可证 x x n n + = → 2 1 lim . 充分性 设 x x x n n n n = + = → → 2 2 1 lim lim ,则对任给   0,找得到正整数 N1,当 n>N1, 时,有 | − |  2 x x n ① 同时可找到正整数 N2,当 n>N2 时,有 −   + | | 2 1 x x n ② 从而取 N=max{2N1,2N2+1},当 n>N 时,n 为偶数,则满足①,n 为奇数,则满足②,即当 n>N 时,有 | x − x |  n ,亦即 x x n n = → lim . 问题 1.1.2 设 = − = − n k k k xn u 1 1 ( 1) 且 k u 满足： （1） ; u1  u2  uk  uk+1  （2） lim = 0. → k k u 则 n n x → lim 存在