【分析】先证lmx2n存在由l2n+12a+2≥0,得 x2n=(l1-a2)+(l2-l4)+…+(u2n-1-u2) ≤(1-l2)+(2-u4) )+( 即x,是单调上升数列 x2n=l1-[(n2-a3)+(u4-l5)+…+(2-2-2n-)+l2], 由{uk}单调下降和 lim u=0,知{a}是非负序列(不然从某项开始uk<0,当 u,则lmu≤l<0) 再由{uk}单调下降,l2-l2≥0,l4-l5≥0,…,u2n=2-l2n120及u2≥0,从而 imx2n存在 下证lmx2n存在.由x2n1=x2n+l2n1,从而由数列极限的运算法则,有 imx2n=lmnx2n+lmnl2n+1,而 lim u=0,由问题1.1.1知,ima2nt=0.从而 imx2n+1=lmnx2n再由问题1.1.1知 lm x存在 注意:一般的教科书上都注明Ln≥0,其实从{n}单调下降和 lim u=0,可推得出un 是非负序列此外我们假定un单调上升,且 lim u=0,问题1.1.2依然正确 问题113设xn=(-1) (n=1,2,…),试证lmxn存在,并求其 【证明】 12 X= 2(1+2+…+n)1+3 n(n+1)-n2n 2 2 n 2n+1 )+…+( 2n+12n+12n+1 1+2+…+2n-12(1+2+ i++2 n2-n(n+1)+2n+1n+11 (n→>∞) 2n+1 2n+12【分析】先证 n n x2 lim → 存在.由 0, u2n+1−u2n+2  得 1 2 3 4 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − + + + −  − + − + + − + − = = − + − + + − n n n n n n n n u u u u u u u u x x u u u u u u   即 n x2 是单调上升数列. 又 [( ) ( ) ( ) ] 2n u1 u2 u3 u4 u5 u2n 2 u2n 1 u2n x = − − + − ++ − − − + , 由 { }k u 单调下降和 lim = 0 → k k u ,知 { }k u 是非负序列（不然从某项开始 uk  0 ,当 0 k  k 时, 0 uk  uk ,则 lim 0 0   → k k k u u ）. 再由 { }k u 单调下降, u2 − u3  0,u4 − u5  0,  ,u2n−2 − u2n−1  0 及 u2n0 , 从而 n n x2 lim → 存在. 下 证 2 1 lim + → n n x 存 在 . 由 2n+1 = 2n + u2n+1 x x , 从 而 由 数 列 极 限 的 运 算 法 则 , 有 2 1 2 2 1 lim lim lim + → → + → = + n n n n n n x x u , 而 lim = 0 → k k u , 由问题 1.1.1 知 , lim 2 +1 = 0 → n n u . 从 而 n n n n x x 2 1 2 lim lim → + → = .再由问题 1.1.1 知 n n x → lim 存在. 注意：一般的教科书上都注明 un  0 ,其实从 { }n u 单调下降和 lim = 0 → n n u ,可推得出 n u 是非负序列.此外我们假定 n u 单调上升,且 lim = 0 → n n u ,问题 1.1.2 依然正确. 问题 1.1.3 设 ( 1) ] 1 2 ( 1) [ 1 1 n n n n x n n n − + = − − + − （n=1,2,…）,试证 n n x → lim 存在,并求其 值. 【证明】 ， 2 1 2 2 ( 1) 2 1 3 2 1 2 2(1 2 ) ) 2 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 1 ( 2 2 = = + − = + + + − − + + + = + − = − + + + − n n n n n n n n n n n n n n n n x n    ( ) 2 1 2 1 1 2 1 ( 1) 2 1 2 1 2 1 2 1 2(1 2 ) 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 ) 2 1 2 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 2 1 1 ( 2 2 1 → →  + + = + − + + + = + + + + + + + − + + + + − = + + + + − + − + + + − + + = n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x n ，   