由问题1.1.1和以上推导知imxn 问题1.1.4证明lsnn不存在 【证明1】(反证)设 lim sin n存在,则 imsn(n+2)= : lim sin n,由此im[sn(n+2)-sinn]=0 亦即lim2 sin I cos(n+1)=0,而sin1≠0, 所以有 lim cos n= lim cos"(n+2)=0 另一方面由问题1.1.1,知 lim sin2n= lim sin n 但lmsn2n=2 lim cos n· lim sin n=0,所以 lim sin n=0, 于是lmsn2n+cos2n=1,这与sn2n+cos2n=1矛盾。 【证明2】(反证)设 lim sin n=A,则由问题1.1.1,得 lim sin 2n=lim sin (2n+1)=A, 但因为sin(2n+1)= cos 1 sin2n+sin1cos2n, sin(2n+2)=cos I sin(2n+1)+ sin I cos(2n+1) 则由sin1≠0,得 lim cos2n= lim cOs2n+1)1-cosA 所以 lim cos n= 另外cos(2n+1)-cos(2n-1)=-2 sin l sin2n 取极限得lmsn2n=0,从而得 Im sin n=0=A,所以 lim cos n 0=0,同样和sn2n+cos2n=1矛盾 下面我们来探讨比问题1.1.1更一般的整体与部分数列问题。 问题15数列{xn}收敛的充要条件是{xn}的任意真子序列{xn}收敛。 【分析】这里讨论的部分数列是任给的真子列{xn},这样的子列有无穷多个 【证明】必要性设lmxn=x,{xn}是{xn}的任一真子列,则{n}是自然数集中 严格单调上升的一个数列,且lmnk=+∞,对任给的E>0,存在自然数N,当n>N时, 有由问题 1.1.1 和以上推导知 2 1 lim = → n n x . 问题 1.1.4 证明 lim sin n→ n 不存在. 【证明 1】（反证） 设 lim sin n→ n 存在,则 lim sin n→ （n＋2）= lim sin n→ n,由此 lim[sin (n + 2) -sin n] = 0 n→ , 亦即 lim 2sin 1cos( n +1) = 0 n→ ,而 sin 1≠0, 所以有 lim cos n→ n= lim cos¨( + 2) = 0 → n n . 另一方面由问题 1.1.1, 知 lim sin n→ 2n= lim sin n→ n， 但 lim sin n→ 2n=2 lim cos n→ n • lim sin n→ n＝0，所以 lim sin n→ n＝0， 于是 lim sin cos 1 2 2 + = → n n n ，这与 sin cos 1 2 2 n + n = 矛盾。 【证明 2】（反证） 设 lim sin n→ n＝A，则由问题 1.1.1，得 lim sin n→ 2n= lim sin n→ （2n＋1）＝A， 但因为 sin (2n+1) = cos 1 sin 2n + sin 1 cos 2n, sin (2n+2) = cos 1 sin (2n+1) + sin 1 cos (2n+1), 则由 sin 1≠0,得 lim cos n→ 2n＝ lim cos n→ （2n+1）= A sin 1 1− cos1 , 所以 lim cos n→ n= A sin 1 1− cos1 。 另外 cos (2n+1)－cos (2n－1)= －2sin 1 sin 2n. 取极限得 lim sin n→ 2n=0，从而得 lim sin n→ n=0=A, 所以 lim cos n→ n＝ 0 0 sin 1 1 cos1  = − ，同样和 sin cos 1 2 2 n + n = 矛盾。 下面我们来探讨比问题 1.1.1 更一般的整体与部分数列问题。 问题 1.1.5 数列 { }n x 收敛的充要条件是 { }n x 的任意真子序列 { } nk x 收敛。 【分析】这里讨论的部分数列是任给的真子列 { } nk x ，这样的子列有无穷多个。 【证明】必要性 设 x x n n = → lim ,{ } nk x 是 { }n x 的任一真子列，则 { }k n 是自然数集中 严格单调上升的一个数列，且 = + → k n lim n ，对任给的   0 ，存在自然数 N，当 n>N 时， 有 | x − x |  n ①