由{k}单调趋于无穷,则存在k,使得m>N,从而当k>k时,n>N满足①,即 由此mx=x 充分性所谓真子列是指下标集N{n}是无穷集,则称{xn}是{xn}的真子列,假定对 所有的真子列{xn}收敛,下证{xn}收敛 显然,{x2n}、{x2n1}皆为{xn}的真子列,则此二真子列皆收敛,设mx2n=A, m B,下证A=B。 {xn}是{x2n}的真子列,{x4m1}是{x2n}的真子列。又必要性之证明有imx4n=A, imx4n1=B。取{xn}∈{xn},且nk=4。] 1+(-1 2 2k1.2,…(冈为x的整数 部分,则{}={4m4+1},N-{m}为无穷集。由此{xn}是{xn}的一个真子列,于 是有lmx,存在有限。又 (1)(n2k)=(4k), A lm xn,=lm xm,,=m x4=m xin=A (2)n2k41)=(4k+1, A lim xn= lim xm,=lim xak+=lim xam+1=B 综合(1),(2)有A=B由问题11.1知{xn}收敛 注意:这里充分性的证明是构造性的,而且这里须注意的是整体序列{xn}变动的是下 标n,而部分序列变动的是{xn}中的k。 问题1.6 lim x=0的充要条件是im|xnk=0 【证明】若lxn=0,则对任给的E>0,存在自然数N,当n>N时, x,-0HIx I-okE, Bp lim Ix, I=0 反之,若im|xn}=0,则对任给的E>0,存在自然数N,当mN时 xn-0‖xn|-0kE,即 lim x=0 问题1.1.7若数/是数列{xn}的一个聚点,则有{xn}的子序列{xn},使得由 { }k n 单调趋于无穷，则存在 k0,使得 , 0 nk  N 从而当 k>k0 时，nk>N 满足①，即 | x − x |  nk ， 由此 x x nk n = → lim 。 充分性 所谓真子列是指下标集 N-{nk}是无穷集，则称 { } nk x 是 { }n x 的真子列，假定对 所有的真子列 { } nk x 收敛，下证 { }n x 收敛。 显然， { } 2n x 、{ } 2n+1 x 皆为 { }n x 的真子列，则此二真子列皆收敛，设 x n A n = → 2 lim ， x n B n + = → 2 1 lim ，下证 A＝B。 { } 4n x 是 { } 2n x 的真子列， { } 4n+1 x 是 { } 2n+1 x 的真子列。又必要性之证明有 x n A n = → 4 lim ， x n B n + = → 4 1 lim 。取 { } { } n n x x k  ，且 , 2 1 ( 1) ] 2 1 4[ k k k n + − + + = k=1,2,… （[x]为 x 的整数 部分），则 { } {4 } {4 1}, { } nk = n  n + N − nk 为无穷集。由此 { } { } n n x x k 是 的一个真子列，于 是有 k n n x → lim 存在有限。又 （1） { } {4 }, 2 n k k = 得 lim lim lim lim ; x x 2 x4 x4n A n k n n n n n k k = = = = → → → → （2） { } {4 1}, n2k+1 = k + 得 lim lim lim lim . x x 2 1 x4 1 x4n 1 B n k n n n n n k k = = = + = → + → → + → 综合（1），（2）有 A=B.由问题 1.1.1 知 { }n x 收敛。 注意：这里充分性的证明是构造性的，而且这里须注意的是整体序列 { }n x 变动的是下 标 n，而部分序列变动的是 { } nk x 中的 k。 问题 1.1.6 lim = 0 → n n x 的充要条件是 lim | |= 0 → n n x 。 【证明】若 lim = 0 → n n x ，则对任给的   0 ，存在自然数 N ， 当 n>N 时 ， | − 0 |=|| | −0 | , n n x x 即 lim | |= 0 → n n x 。 反 之 ，若 lim | |= 0 → n n x ， 则 对 任给 的   0 ， 存 在自 然 数 N ， 当 n>N 时 ， | − 0 |=|| | −0 | , n n x x 即 lim = 0 → n n x 。 问题 1.1.7 若数 l 是数列 { }n x 的一个聚点，则有 { }n x 的子序列 { } nk x ，使得