lmxn=l,反之也成立。 【分析】要证明本问题先得弄清聚点得概念,然后来“抽取”子序列。 【证明】由l是{xn}的一个聚点,从而对任给的E>0,区间(-E,+E)中有{xn} 得无穷多项(可重复的选取同一个数).下面是子列的“抽取”法 对E=1,在(1-1+1)中任取一个xn}的项作为x,对E=,/、)中 l 有{x-{x,x2,…xn}的无穷多项,任取一个作为xn,“,对6=k,在(-k2+)中 有{xn}-{x1,x2…xm}的无穷多项,任取一个作为xn,这样又归纳法我们可取{xn}的子 列{x ,由取法可知n是严格单调的自然数列 以下证明imxn=l,对任给E>0,总有ko使得,<E,从而当k>ko时 xn-kk<k<,亦即如mx1=,反之亦然。 问题1:8设L是数列{xn}的上极限,则可选取{xn}的子序列{xn}使imxn=L, 同样可抽取子序列{xn}s{xn},使lnx2=1,/是{xn}的下极限(这里Ll可取无穷)。 【分析】注意到L= lm sup{xn}即可 k→n≥k 【证明】先设L有限,我们仅需证明L是{xn}的一个聚点。对任给的E>0,由 L= lm sup{xn},从而可找到ko,当k>ko时, I sup ixi-Lk 由此有n≥ko,使 I sup(,)-x K 于是|xn-L图sup{xn}-xn1+su{xn}-LkE 同样由|sup{xn}-Lk,可找到n>m,使得xn2-LkE用归纳法可找到{x},对 所有的k,使|xn-LkE,而{xn}是{xn}的无穷多项落在(-E,l+E)之间,于是L是 xn}的一个聚点lim x l, nk n = → 反之也成立。 【分析】要证明本问题先得弄清聚点得概念，然后来“抽取”子序列。 【证明】由 l 是 { }n x 的一个聚点，，从而对任给的   0 ，区间 (l −  ,l +  ) 中有 { }n x 得无穷多项（可重复的选取同一个数）.下面是子列的“抽取”法。 对  =1 ，在 (l −1,l +1) 中任取一个 { }n x 的项作为 n1 x ，对 2 1  = ，在 ) 2 1 , 2 1 (l − l + 中 有 { } { , , } n 1 2 n1 x − x x x 的无穷多项，任取一个作为 n2 x ，…，对 k 1  = ，在 ) 1 , 1 ( k l k l − + 中 有 { } { , , } 1 2 −1 − n nk x x x x 的无穷多项，任取一个作为 nk x ，这样又归纳法我们可取 { }n x 的子 列 { } nk x ，由取法可知 k n 是严格单调的自然数列。 以下证明 lim x l, nk n = → 对任给   0 ，总有 k0, 使得   0 1 k ，从而当 k>k0 时， −     0 1 1 | | k k x l nk ，亦即 lim x l, nk n = → 反之亦然。 问题 1.1.8 设L是数列 { }n x 的上极限，则可选取 { }n x 的子序列 { } nk x 使 lim x L, nk n = → 同样可抽取子序列 { } { } n n x x r  ，使 lim x l, nr n = → l 是 { }n x 的下极限（这里 L,l 可取无穷）。 【分析】注意到 lim sup{ }n n k k L x  → = 即可。 【证明】先设 L 有限，我们仅需证明 L 是 { }n x 的一个聚点。对任给的   0 ,由 lim sup{ }n n k k L x  → = ，从而可找到 k0,当 k>k0 时， 2 |sup{ } |  −   xn L n k （*） 由此有 n1≥k0,使 2 |sup{ } | 1 0  −   n n n k x x （**） 于是 −  − + −     | | |sup{ } | |sup{ } | 1 0 1 x L x x xn L n k n n n k n 。 同样由 2 | sup { } | 1 1  −   + xn L n n ，可找到 n2>n1,使得 | − |  2 xn L 。用归纳法可找到 { } nk x ，对 所有的 k，使 | x − L |  nk ，而 { } nk x 是 { }n x 的无穷多项落在 (l −  ,l +  ) 之间，于是 L 是 { }n x 的一个聚点