下设L=+∞,则对一切的k皆有sup{xn}=+∞(否则由sup{xn}<+∞,则当k>k0时, su{xn}=sp{xk,xk41}≤{x…xk,x4…}<+,从而L<+∞0,由 sup{xn}=+∞,从而有m,使得xm2≥1由sup{xn}=+∞,从而有n>m,使得xm2≥2,…, 由归纳法可从su{xn}=+0,找得到x>k(nk-n-)这样mx=+∞,另外对下极 限,有-1= lm sup{-xn},所以-是{-xn}得聚点,从而下极限是{xn}的聚点。 k→m≥k 问题1.1.9数列{xn}的上极限是{xn}的最大聚点,下极限则是最小聚点。lmxn存在 的充要条件是mxn=imnf{xk}= lim sup{xk}且为有限值 →n 【分析】有了问题1.1.8及其证明,问题1.1.9可以很快解决,我们采用反证法 【证明】先证上极限是最大聚点(反证)。若不然,另有x0>上极限L,x是{xn}的聚 点。则有{xn}的子列{xn},lmxn=x0,从而对E=~l ,当k≥k时,有 2 2~E=2-x L 2xn -xo <s 2,注意p{x,}≥xL+,所以对一切的r总有n1≥r,于是 L+xo n2段 sup{xn}≥p{x}2、L+x,对r取极限,得L、L+7L,矛盾。 同理可证下极限l是最小聚点。 若lmxn存在,则{xn}的任何子列都收敛于同一极限,由问题1.1.8,有{xn}的子列 {x}和{xn},使得mx=L(上极限)lmxn,=l(下极限,从而mxn2= Iim xn 即L=l 反之,若L=1,则对任给E>0,存在N1,当nN1时,有 I supx,-lk 同时存在N2当n>N2,有 I inf (xki-LK 取N=max{N1,N2},当nN时,由①、②,得 L-a<inf (x)sup(x<L+8下设 L = + ，则对一切的 k 皆有 = +  sup{ }n n k x (否则由  +  sup{ }n n k x ,则当 k>k0 时， = +  +  +  sup{ } sup{ , , } sup{ , , , , } n k k 1  k0  k k 1  n k x x x x x x ，从而 L  + ，由 = +  sup{ } 1 n n x ，从而有 n1,使得 1. 1 xn  由 = +  + sup { } 1 1 n n n x ，从而有 n2>n1,使得 xn2  2, ， 由归纳法可从 = +  − + sup { } 1 1 n n n x k ，找得到 ( ) n  nk − nk−1 x k k .这样 lim = +, → nk k x 另外对下极 限 l ，有 lim sup{ }n n k k − l = −x  → ，所以－ l 是 { }n −x 得 聚点，从而下极限 l 是 { }n x 的聚点。 问题 1.1.9 数列 { }n x 的上极限是 { }n x 的最大聚点，下极限则是最小聚点。 n n x → lim 存在 的充要条件是 lim lim inf { } lim sup{ } , k n n k k n n n n x x x  → →  → = = 且为有限值。 【分析】有了问题 1.1.8 及其证明，问题 1.1.9 可以很快解决，我们采用反证法。 【证明】先证上极限是最大聚点（反证）。若不然，另有 0 x >上极限 L， 0 x 是 { }n x 的聚 点。则有 { }n x 的子列 { } nk x ， 0 lim x x nk k = → ，从而对 2 x0 − L  = ，当 k≥k0 时，有 , 2 , 2 | | 0 0 0 0    −   − − = − −  = x x x L L x x x nk nk 即 , 2 0 nk x L x  + 注意 2 sup{ } 0 L x x x k k n n n n +    ，所以对一切的 r 总 有 n r k  ，于是 2 sup{ } sup{ } 0 L x x x x k k n n n n n n r +      ，对 r 取极限，得 L L x L  +  2 0 ，矛盾。 同理可证下极限 l 是最小聚点。 若 n n x → lim 存在，则 { }n x 的任何子列都收敛于同一极限，由问题 1.1.8，有 { }n x 的子列 { } nk x 和 { } nr x ，使得 x L nk k = → lim (上极限), x l nr r = → lim （下极限），从而 k nr r n k x x → → lim = lim ， 即 L = l . 反之，若 L = l ，则对任给   0 ，存在 N1,当 n>N1 时，有 2 |sup{ } |  −   xk L k n ① 同时存在 N2,当 n>N2，有 2 | inf { } |  −   xk L k n ② 取 N=max{N1,N2},当 n>N 时，由①、②，得 −    +    L x xk L k n k k n inf { } sup{ } ③