注意nf{x}≤xn≤Sup{xk},代入③式,当n>N时,有 L-E<xn<L+E,亦即lmxn=L 在涉及上、下极限得证明总必须注意的是{yn}={sup{xk}}是单调下降数列 =n}={nf{xk}是单调上升数列 问题110设{xn}满足条件0≤xmn≤xm+xn+a(a为常数),则lm存在 【分析】利用问题1.19的结论,仅需证上、下极限有限并且相等。 【证明】由于0≤xn≤mx+(m-1)a,则0≤一≤x+1 a≤x1+|ab数列{一}有 界,从而如果设mx=L,则0≤L≤x+1{a即上极限有限。先对任给整数m自然数 n,可表为n-km+r(0≤r<m,则xn≤xmn+x1+a≤kxm+x+ka,于是 kx +x tke km 0≤一 km+r km+r m km+r km+r 因此0≤lm皿≤-+一再对上式取极限,令m→∞,右边取下极限,得 lim lin 在问题1.10的证明用到了两个事实:若xn≤yn则(I)mxn≤myn;(i) imxn≤myn.另外我们有mxn≥皿mxn所以我们若要证明lxn=皿xn2,仅需证明 limx lim x 问题1.111任何有界数列必有收敛的子数列(致密性定理)。 【分析】用问题1.1.8仅需证数列的上极限存在并有限。 【证明】设{xn}是一个有界数列,且设yn=Sup{xk}=Sp{xn,xn1,… ≥Sup{xn+1,xn+2,…}=Sup{x}=yn注意 inf { } sup{ }k k n k n k n x x x     ，代入③式，当 n>N 时，有 L −  x  L +  n ， 亦即 xn L n = → lim 。 在涉及上、下极限得证明总必须注意的是 { } {sup{ }} k k n n y x  = 是单调下降数列， { } {inf { }} k k n n z x  = 是单调上升数列。 问题 1.1.10 设 { }n x 满足条件 0  xm+n  xm + xn + a(a为常数） ，则 n xn n→ lim 存在。 【分析】利用问题 1.1.9 的结论，仅需证上、下极限有限并且相等。 【证明】由于 0  xn  nx1 + (n −1)a ，则 | |, 1 0 1 a x1 a n n x n xn  + −   + 数列 { } n xn 有 界，从而如果设 L n xn n = → lim ，则 0 | |,  L  x1+ a 即上极限有限。先对任给整数 m,自然数 n,可表为 n=km+r (0≤r<m),则 x x x a kx x ka, n  km + r +  m + r + 于是 0 . k m r k a k m r x m x k m r k m k m r k x x k a n xn m r m r + + +  + + = + + +   因此 0 lim . m a m x n xn m n   + → 再对上式取极限，令 m → , 右边取下极限，得 lim lim lim . n x m x n x n n m m n n→ → →  = 在问题 1.1.10 的证明用到了两个事实：若 n n x  y 则（I ） lim lim ; n n n n x y → →  (ii) n n n n x y → → lim  lim . 另外我们有 lim lim . n n n n x x → →  所以我们若要证明 lim lim , n n n n x x → → = 仅需证明 lim lim . n n n n x x → →  问题 1.1.11 任何有界数列必有收敛的子数列（致密性定理）。 【分析】用问题 1.1.8 仅需证数列的上极限存在并有限。 【证明】设 { }n x 是一个有界数列，且设 sup{ } sup{ , , } +1   = k = n n k n n y x x x 1 1 1 2 sup{ , , } sup{ } +  +  + + = k = n k n n n x x  x y