{yn}是一个单调下降的数列,又{xn}有界,则存在正数M,|xnkM,从而ynM 由单调有界收敛原理知 Im y=L存在。 下面我们介绍在分析理论中很重要的对角线法则 问题1112设{(x)}是定义在自然数N上的有界函数列,则可在{fn(x)}中选取子 函数列{fn(x)在N上收敛,即对任给的r∈N, lim f,(r)存在 【分析】利用问题1.1.11想办法抽取子序列。 【证明】由问题说设,存在正数M,对一切的x∈N,有f(x)M.从而 (1)1fn(1)kM,n=12,…所以可选取子序列m()sUn(),使得mfn() 存在。为方便起见,记Um(x)={m(x),我们有imf()存在,且显然有f(x)可 为f1(x)或后面的函数 (2)由f(k)M,我们可选取{(x)}的子序列{6(x)},使imf(k)存 在,且显然在原数列中fA(x)排在∫(x)之后。 我们如此排下来: f(x),/2(x),f"(x)…,f(x f12(x),f2(x),/32(x)…fm2(x) f(x),f1(x),/(x)…f(x) f("(x)./2"(x),3"(x),…,f(x) 取对角线,则{(x)}即为所求的子序列。下证对任给的k∈N,有mf”(k)存在。这 由在所取子序列中除了有限项f(x) f(x)(x)可能不在f((x)中, f”(x)sf(x),而mfm(k)存在,从而mfm(k)存在。 问题113如果数列{xn}的任何子列{x}满足条件m(∑Cxn)/2N=A,A为 有穷数,则lmxn=A 【分析】注意到∑C=2,用反证法抽取子序列产生矛盾来证明。即 { }n y 是一个单调下降的数列，又 { }n x 有界，则存在正数 M，| xn | M ,从而 | yn | M 。 由单调有界收敛原理知 yn L n = → lim 存在。 下面我们介绍在分析理论中很重要的对角线法则。 问题 1.1.12 设 { f (x)} n 是定义在自然数 N 上的有界函数列，则可在 { f (x)} n 中选取子 函数列 { f (x)} nk 在 N 上收敛，即对任给的 r∈N, lim f (r) nk k→ 存在。 【分析】利用问题 1.1.11 想办法抽取子序列。 【证明】由问题说设，存在正数 M，对一切的 x∈N，有 | f (x) | M. n  从而 （1） | f (1) | M,n =1,2,  . n 所以可选取子序列 { (1)} { (1)} n n f f k  ，使得 lim (1) k n k f → 存在。为方便起见，记 { ( )} { ( )} (1) f x f x nk = n ，我们有 lim (1) (1) n n f → 存在，且显然有 ( ) (1) 1 f x 可 为 ( ) 1 f x 或后面的函数。 （2）由 | ( ) | , ( 1) f k M k n  − 我们可选取 { ( )} ( 1) f x k n − 的子序列 { ( )} ( ) f x k n ，使 lim ( ) ( ) f k k n n→ 存 在，且显然在原数列中 ( ) ( ) f x k k 排在 ( ) ( 1) 1 f x k k − − 之后。 我们如此排下来：           ( ), ( ), ( ), , ( ) ( ), ( ), ( ), , ( ) ( ), ( ), ( ), , ( ) ( ), ( ), ( ), , ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (3) (3) 3 (3) 2 (3) 1 (2) (2) 3 (2) 2 (2) 1 (1) (1) 3 (1) 2 (1) 1 f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x n n n n n n n n 取对角线，则 { ( )} ( ) f x n n 即为所求的子序列。下证对任给的 k∈N，有 lim ( ) ( ) f k n n n→ 存在。这 由 在 所 取 子 序 列 中 除 了 有 限 项 ( ) (1) 1 f x ， … ， ( ) ( 1) 1 f x k k − − 可能不在 ( ) ( ) f x k n 中 ， ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x k n n n  ，而 lim ( ) ( ) f k k n n→ 存在，从而 lim ( ) ( ) f k n n n→ 存在。 问题 1.1.13 如果数列 { }n x 的任何子列 { } nk x 满足条件 C x A N N k n k N N k  = = → lim ( )/ 2 0 ，A 为 有穷数，则 xn A n = → lim 。 【分析】注意到 = = N k k N CN 0 2 ，用反证法抽取子序列产生矛盾来证明