【证明】若{xn}不收敛于A,则存在E0>0,和{xn}的子列{xn},满足|xn-APE0 (k=0,1,2…),于是 )/2-A=∑C(xn-A)2N≥∑ 与问题所设矛盾 在上面的证明中子列的选法是这样的,由lmxn,≠A,从而存在En>0,对任给的N, 总有n>N使得|x;-APE。先任选x满足|x-A上E0,对N=m,有m>N=mo满足 xn-APE0。对N=m,有m>N=n满足|xn,-AE0,…,对N=n,有nk>N=nk满足 x-APE0这样由归纳法即可抽到所要求的子序列。而对{x-A}必有无穷多个同号, 所以又可从{xn-4}中选取各项符号相同的子列。【证明】若 { }n x 不收敛于 A，则存在  0  0 ，和 { }n x 的子列 { } nk x ，满足 0 | x − A |  nk （k=0,1,2,…）,于是 0 0 0 0 0 ( )/ 2 − =  ( − )/ 2    / 2 =  = = = N N k k N N N k n k N N N k n k CN x A C x A C k k 与问题所设矛盾。 在上面的证明中子列的选法是这样的，由 xn A n  → lim ，从而存在  0  0 ，对任给的 N, 总有 n’>N,使得 0 | x − A |  n ‘ 。先任选 n0 x 满足 0 | | 0 x − A   n ，对 N=n0, 有 n1>N=n0 满足 0 | | 1 x − A   n 。对 N= n1，有 n2>N=n1 满足 0 | | 2 x − A   n ，…，对 N=nk, 有 nk+1>N=nk 满足 0 | | 1 −   + x A nk 。这样由归纳法即可抽到所要求的子序列。而对 {x A} nk − 必有无穷多个同号， 所以又可从 {x A} nk − 中选取各项符号相同的子列