由伪凹函数的性质及(11)知必有 f(x)≥f(x),i=1,n,yx∈o(x,6)/{x'} 注意当x∈o(x,6)/{x”}时有 x=(x+△x1…x+△x)=(x+mAx1,x…x)+…(x,x…x+nxn)=∑ 其中x=(x1,…x1,x+n△x1…x) 可取Ax(=1…n)适当小使x0=(x,…x1,x+nAx1…x)∈o(x,δ){x},由于 伪凹函数一定是拟凹函数,于是便有 (x)=/(∑)minf(x0)≥f(x*) 从而x为局部最优解 5°在1°的假设条件下,若V1>0,五k≠j,1≤k,j≤n,满足 x),x∈o(x,)/{x'},且对k有(12)式成立,对j有(13)式成立,则x一定不是f(x) 的极值点。 °在1°的假设条件下,若Vd1>0,五k,1≤k≤n,≠x,满足 04x4-xk61,04X-xk1,且对x有(12)式成立,对有(13)式成立,则x 定不是f(x)的极值点。 例判断四元函数f(x)=x12-2x2+x32-x42+4xx2+2x2x3+6xx3+2x2x4的极值情况。 解易解得唯一驻点x=(0,0,0,0)。 但Vx,≠0,i=1,2,总有 xf1(x10,0,0)=2x12>0 f2(0,x2,0,0)=-4x2<0 l81181 由伪凹函数的性质及(11)知.必有 ( ) ( ) ( ) * f x f x i  ,i=1,…n,  x  ( , ) *  x  / { }  x 注意当 x  ( , ) *  x  / { }  x 时有 ( ) 1 * * 1 2 * 1 * * 1 1 2 * 1 * 1 1 * 1 ( , ) ( , ) ( , ) i n i n n n n n n n n x x x x x x n x x x x x x n x  x = = +   +  = +   +  +  = 其中 ( , , , ) * * * 1 * 1 ( ) i i i n i x = x x x + nx x − 可取 x（i i = 1, n） 适当小,使 ( , , , ) * * * 1 * 1 ( ) i i i n i x = x x x + nx x −  ( , ) *  x  / { }  x ,由于 伪凹函数一定是拟凹函数，于是便有 f (x) = f ( ( ) 1 1 i n i n  x = ) min ( ) ( *) ( ) f x f x i i   从而 * x 为局部最优解。 5 0 在 1°的假设条件下，若   1  0, k  j, 1 k, j  n ，满足  ( ) ( ) , k j x x ( ) 1 *  x ， / { }  x ，且对 k 有（12）式成立，对 j 有（13）式成立，则  x 一定不是 f (x) 的极值点。 6° 在 1°的假设条件下，若  k k k k n x x ~ 0, , 1 ,  1       ，满足 1 1 | ~ 0 | − |  , 0 | −     k k k k x x x x ，且对 k x 有（12）式成立，对 k x ~ 有（13）式成立，则  x 一 定不是 f (x) 的极值点。 例 判断四元函数 1 2 2 3 1 3 2 4 2 4 2 3 2 2 2 1 f (x) = x −2x + x − x + 4x x + 2x x +6x x + 2x x 的极值情况。 解 易解得唯一驻点  x = （0，0，0，0）。 但 xi  0, i = 1,2 ，总有 ( ,0,0,0) 2 0 2 x1 f 1  x1 = x1  ； (0, ,0,0) 4 0 2 x2 f 2  x2 = − x2 