当i≠j时,a;,a1=0,于是有 k,|a1,a1=0→只有k1=0(:a1≠0) 上式对于i=1,2,…,m都成立,故a1,a2,…,an线性无关 3.判定定理 定理1向量组ax1,a2,…,an(m≥2)线性相关台→ 其中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示 证必要性,已知a1,a2,…an线性相关则存在k1,k2,…,kn不全为零, 使得 k1a1+k2a2+…+knam=6 不妨设k1≠0,则有a1=(-72)a2+…+(- 充分性.不妨设a1=k2a2+…+knan,则有 (-1)aα1+k2a2+…+knan=6 因为(-1,k2,…,kn不全为零所以a1,a2,…,an线性相关 定理2若向量组a1,a12,…,am线性无关,a1,a2…,an,B线性相关, 则B可由ar1,a2,…,cn线性表示,且表示式唯一 证因为a1,…,an,月线性相关,所以存在数组k1,…,kn,k不全为零, 使得 ka1+…+knam+kB=6 若k=0,则有ka1+…+knαn=日→k1=0,…,kn=0.矛盾! 故k≠0,从而有B=(-a1+…+(-")axn 下面证明表示式唯一:6 当 i  j 时, [ i , j ] = 0, 于是有 ki [ i , i ] = 0  只有 ki = 0 (    )  i 上式对于 i = 1,2,  ,m 都成立, 故    m , , , 1 2  线性无关． 3．判定定理 定理 1 向量组    m , , , 1 2  (m  2) 线性相关  其中至少有一个向量可由其余 m −1 个向量线性表示． 证 必要性．已知    m , , , 1 2  线性相关, 则存在 k k km , , , 1 2  不全为零, 使得 k11 + k2 2 ++ km m =  不妨设 k1  0 , 则有 m m k k k k  ( ) ( ) 1 2 1 2 1 = − ++ − ． 充分性．不妨设 1 = k2 2 ++ km m , 则有 (−1)1 + k2 2 ++ km m =  因为 k km ( 1), , , − 2  不全为零, 所以    m , , , 1 2  线性相关． 定理 2 若向量组    m , , , 1 2  线性无关, 1 , 2 ,  , m ,  线性相关, 则  可由    m , , , 1 2  线性表示, 且表示式唯一． 证 因为  1 ,  , m ,  线性相关, 所以存在数组 k1 ,  , km , k 不全为零, 使得 k11 ++ km m + k =  若 k = 0 , 则有 k11 ++ km m =   k1 = 0,  , km = 0 ．矛盾! 故 k  0 , 从而有 m m k k k k  ( )1 ( ) 1 = − ++ − ． 下面证明表示式唯一：