a1+a, <1+ (n>N.,1.xN+kN-1N+kN-1而k→∞时左边趋于 < N+k+1 无穷,得到矛盾 二)函数的上下极限 函数上下极限的各种等价定义: 确界定义: 设f(x)在N(a,m)内有定义,Vδ:0<0<,记: o(6)=S{(x)x∈N"(a,o),w(o)=l/{(x)x∈N"(a。)显然,当 δ↓0时,g(δ)↓,v(6)↑。从而由归结原则可知im,o(6),imw(a)存 在或±∞。记:mf(x)=m.p(6),limf(x)=lim.v(6),分别称为f(x) 在点a的上下极限。 定义 A是f(x)在点a的上极限,当且仅当VE>0:①38>0,当x∈N(a,δ) 时,f(x)<A+E。②Vδ>0,彐x∈N(a,δ),使f(x)>A-E B是f(x)在点a的下极限,当且仅当E>0:①3δ>0,当x∈N(a,δ) 时,f(x)>B-E。②Vδ>0,3x∈N°(a,6),使f(x)<B+E。 序列化定义 A(或B)是f(x)在点a的上(下)极限,当且仅当①3{xn}∈N"(an,6) xn→a,使∫(xn)→A。②对任意收敛于a的点列{n},若{(n)收敛于a, 则a≤A(或a≥B) 由E-δ定义既可得到证明。 基本事实: ①B=lf(x)≤A=lmf(x) ②VE>0,36>0,当x∈N°(a,)时,B-E<f(x)<A+E。 ③lmf(x)存在,当且仅当lmf(x)=lmf(x)。8 n n n a a a         1 + +1 < e < n n       − + 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 − = −  + + + n n a n a a n n , n a n a n a1 n n 1 1 + − −  ( n > N ) ， N k a N a N N k a N N k + − −  + + + + +1 1 1 ) 1 1 (  ＜ N −1 aN , 而 k → 时左边趋于 无 穷 , 得到矛盾。 （二） 函数的上下极限： 函数上下极限的各种等价定义： 确界定义： 设 f (x) 在 ( , ) 0 N a  内有定义，  : 0    ， 记 ： ( )  ( ), ( , ), ( )  ( ), ( , ) 0 0   = Sup f x x  N a    = Inf f x x  N a  。 显 然 ， 当   0 时 ， ( )  ， ( )  。从 而 由 归 结 原 则 可 知 → + 0 lim  ( ) ， → + 0 lim  ( ) 存 在 或   。记 ： lim f (x) x→a = → + 0 lim  ( ) ， x→a lim f (x) = → + 0 lim  ( ) ，分 别 称 为 f (x) 在 点 a 的上下极限。  −  定义： A 是 f (x) 在 点 a 的 上 极 限 ，当 且 仅 当   0：①  >0,当 x  ( , ) 0 N a  时 , f (x) < A +  。 ②   >0,  x  ( , ) 0 N a  , 使 f (x) > A－  。 B 是 f (x) 在 点 a 的 下 极 限 ，当 且 仅 当   0：①  >0,当 x  ( , ) 0 N a  时 ， f (x) >B－  。 ②   >0,  x  ( , ) 0 N a  ， 使 f (x) < B+  。 序列化定义： A ( 或 B) 是 f (x) 在 点 a 的 上 （ 下 ） 极 限 ， 当 且 仅 当 ①   ( , ) 0  xn  N a  ， xn → a ，使 f (xn ) → A 。② 对 任 意 收 敛 于 a 的点列 t n  ，若 f (t n ) 收敛于  ， 则   A（ 或   B）。 由  −  定义既可得到证明。 基本事实： ① B= x→a lim f (x)  A= x→a lim f (x) 。 ②   0，  >0,当 x  ( , ) 0 N a  时 , B－  < f (x) < A +  。 ③ x→a lim f (x) 存在，当且仅当 x→a lim f (x) = x→a lim f (x)