2、设0≤x≤x+x,求证:m工存在。 证:若lm互存在,应有m=m=a。对任意g>0,存在n 时 >a-a 又存在N(N>n0)使a-g<XN<a+E N 对任意n>N,n=kN+m(0≤m<N),则 小×xm(a+2E(只要n充分大 注:上述方法的妙处在于确定了估计对象a。 3、设0≤x≤xnxn。求证:m/x存在。 存在N使Nx<a+E,且当 n=kN+m(0≤m<N),则 a-<x-xk。≤x <(a+E)(1+E) 4、若{xn有界,lm(xn1-xn)=0,则{xn}聚点全体之集为闭区 间[a,B。(其中B、分别是{xn}的上、下极限) 证:对任意ξ∈(α,B),取正数E使a+E<5-E<5+E<B-E,再取 自然数N,使当n>N时m-x<E。由上下极限的定义可知存在 n入N,P21使x〈a+E,x+>B-E,于是在x+1,…,x+p=中间至少有 一个属于(5-E,5+E)(若不然,则存在x+k<5-E,x+>5+E,与 已知条件矛盾)。由E的任意性既知是{xn}的聚点 5、设{xn}为正数列,证明:m a,+anl2 e 反证法:设所述上极限为a,且a<e.则存在N,n>N时7 2、 设 0  n m x +  n x + m x ，求证： n→ lim n xn 存在。 证：若 n→ lim n xn 存在，应有 n→ lim n xn = n→ lim n xn =  。对任意  >0,存 在 0 n , 当 n > 0 n 时 , n xn >  -  。又存在 N（ N > 0 n ） 使  -  ＜ N xN ＜  ＋  。 对任意 n > N， n = k N +m（ 0  m < N）， 则 :  -  < n xn  n kx x N + m < N xN + n xm <  ＋ 2  (只 要 n 充分大 )。 注：上述方法的妙处在于确定了估计对象  。 3、 设 0  n m x +  n x m x 。求证： n→ lim n n x 存在。 证：设  = n→ lim n n x 。 存 在 N 使 N N x <  ＋  ,且 当 n > N 时 n n x >  -  . 设 n = k N +m（ 0  m < N），则：  -  ＜ n n x = x n kN m 1 +  x x n m n k N 1 = x x n m n kN N N 1 1  = n m N m N N xN x x 1 1 ( ) − ＜ (  ＋  )(1+  ) . 4、 若 xn  有界， n→ lim （ n n x − x +1 ） ＝ ０ ， 则 xn  聚 点 全 体 之 集 为 闭 区 间 [  ，  ] 。（ 其 中  、  分别是 xn  的上、下极限） 证：对任意   （  ，  ）， 取 正 数  使  +  <  -  <  +  <  -  ,再 取 自然数 N , 使 当 n>N 时 n n x − x +1 <  。 由 上 下 极 限 的 定 义 可 知 存 在 0 n > N , p  1 使 n0 x <  +  , n p x 0 + >  -  ,于是在 0 1 0 1 , , n + n + p− x  x 中间至少有 一个属于 (  -  ,  +  )（ 若 不 然 ， 则 存 在   −    +  0 + 0 + +1 , n k n k x x ， 与 已 知 条 件 矛 盾 ）。 由  的任意性既知  是 xn  的聚点。 5、 设 xn  为正数列，证明： n→ lim n n n a a a         1 + +1  e 。 反证法：设所述上极限为  ， 且  < e .则存在 N , n > N 时