习题二解答 1.利用导数定义推出: 1)(=")=nzn1,(m是正整数) 证1)(二)=lim (二+△)- =lim(n+Cn=A+…△“) li -=-lim 2.下列函数何处可导?何处解析? (1)f(=)=x2-iy (2)f()=2x3+3y2i (3)(2)=x2+ix2y (4) f(=sin achy+icos xshy 解(1)由于 在z平面上处处连续,且当且仅当x=-时,uy才满足CR条件,故f()=+i=x-iy仅在 直线x=--上可导,在z平面上处处不解析。 (2)由于On ar-6r, our 0 0 ax 在z平面上处处连续,且当且仅当2x2=3y2,即√2x±√y=0时,u才满足CR条件,故 f()=+i=2x2+3y2仅在直线√2x±√3y=0上可导,在z平面上处处不解析。 (3)由于 xy 2x 在z平面上处处连续,且当且仅当=0时,才满足CR条件,故f()=xy2+ix2y仅在点z=0 处可导,在z平面处处不解析 (4)由于 cOS rchy, =sin tshr =-sin ashy =cos chi 在z平面上处处连续,且在整个复平面u才满足C-R条件,故∫(-)= sin chy+ i cos shi在 平面处处可导,在〓平面处处不解析 3.指出下列函数∫(二-)的解析性区域,并求出其导数。 (二-1) (2)x3+2iz 3) (4)2+(cd冲至少有一个不为0) 解(1)由于∫()=5(x-1,故()在z平面上处处解析 (2)由于f()=3z2+2i,知f(=)在z平面上处处解析 (3)由于f() 2-1)(-1)(=+1) 知f(=)在除去点二=±1外的z平面上处处可导。处处解析,z=±1是f()的奇点1 习题二解答 1．利用导数定义推出： 1 2 1 1 1)( )' ,( ) 2 ' n n z nz n z z − ⎛ ⎞ = =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 是正整数 ； ） 。 证 1） 1 22 1 1 0 0 ( ) ( )' lim lim( ) n n n n n nn n z z zz z z nz C z z z nz z − − −− ∆→ ∆→ +∆ − = = + ∆+ ∆ = ∆ " 2） 2 0 0 1 1 1 11 ' lim lim ( ) z z z zz z z zz z z ∆→ ∆→ − ⎛ ⎞ + ∆ ⎜ ⎟ = =− =− ⎝ ⎠ ∆ +∆ 2．下列函数何处可导？何处解析？ （1） f ( )z x i y 2 = − （2） 3 3 f () 2 3 i zxy = + （3） f( )z xy x y 2 2 = +i （4） f ( ) sin ch i cos sh z xy xy = + 解 （1）由于 2 , 0, 0, = −1 ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ y v x v y u x x u 在 z 平面上处处连续，且当且仅当 2 1 x = − 时，u,v 才满足 C-R 条件，故 f ( )z = u + i v = x − i y 仅在 直线 2 1 x = − 上可导，在 z 平面上处处不解析。 （2）由于 2 6 u x x ∂ = ∂ ， 0 u y ∂ = ∂ ， 0 v x ∂ = ∂ ， 2 9 v y y ∂ = ∂ 在 z 平面上处处连续，且当且仅当 2 2 2 3, 2 3 0 xy x y = 即 ± = 时，u,v 才满足 C-R 条件，故 ( ) 3 3 f zuv x y =+ = + i 2 3i 仅在直线 2 30 x y ± = 上可导，在 z 平面上处处不解析。 （3）由于 2 y x u = ∂ ∂ ， xy y u = 2 ∂ ∂ ， xy x v = 2 ∂ ∂ ， 2 x y v = ∂ ∂ 在 z 平面上处处连续，且当且仅当 z=0 时，u,v 才满足 C-R 条件，故 f (z) xy x y 2 2 = + i 仅在点 z = 0 处可导，在 z 平面处处不解析。 （4）由于 cos ch u x y x ∂ = ∂ ， sin sh u x y y ∂ = ∂ ， sin sh v x y x ∂ = − ∂ ， cos ch v x y y ∂ = ∂ 在 z 平面上处处连续，且在整个复平面 u,v 才满足 C-R 条件，故 f ( ) sin ch i cos sh z xy xy = + 在 z 平面处处可导，在 z 平面处处不解析。 3．指出下列函数 f ( )z 的解析性区域，并求出其导数。 1） 5 ( 1) z − ； （2） 3 z z + 2i ； 3） 2 1 z −1 ； （4） ( , 0) az b c d cz d + + 中至少有一个不为 解 （1）由于 ( ) 4 fz z ′ = − 5( 1) ，故 f (z) 在 z 平面上处处解析。 （2）由于 ( ) 3 2i 2 f ′ z = z + ，知 f ( )z 在 z 平面上处处解析。 （3）由于 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 2 − + = − − − ′ = z z z z z f z 知 f ( )z 在除去点 z = ±1外的 z 平面上处处可导。处处解析， z = ±1是 f (z) 的奇点