(4)由于f(=)= +d ,知f(=)在除去二=-d/c(c≠0)外在复平面上处处解析 5.复变函数的可导性与解析性有什么不同?判断函数的解析性有那些方法? f(=-)在D(区域)内解析 f(二)在D内可导 f(=)在二0解析 f(二)在二0可导 f(=)在二0连续 判定函数解析主要有两种方法:1)利用解析的定义:要判断一个复变函数在二0是否解析,只 要判定它在〓及其邻域内是否可导;要判断该函数在区域D内是否解析,只要判定它在D内是否 可导;2)利用解析的充要条件,即本章§2中的定理二 6.判断下述命题的真假,并举例说明 (1)如果f(-)在0点连续,那么∫(a)存在 (2)如果f(=)存在,那么f()在0点解析 (3)如果=0是f()的奇点,那么f()在二0不可导 (4)如果=0是/()和g()的一个奇点,那么也是f(-)+g()和/(-)/g()的奇点。 (5)如果l(x,y)和v(x,y)可导(指偏导数存在),那么f(二)=l+i亦可导。 (6)设∫(=)=a+iv在区域内是解析的。如果u是实常数,那么f(二)在整个D内是常数;如 果ν是实常数,那么∫(=)在整个D内是常数 解 (1)命题假。如函数f(=)=x1=x2+y2在z平面上处处连续,除了点z=0外处处不可导。 (2)命题假,如函数f()==在点z=0处可导,却在点z=0处不解析。 (3)命题假,如果f()在二点不解析,则=称为()的奇点。如上例 (4)命题假,如∫(=)= sinxch y,g(z)= icos xsh y,z=(x/2,0)为它们的奇点,但不 是f(=)+g(二)的奇点 (5)命题假。如函数()=Rez=x2+ix仅在点=0处满足CR条件,故f()仅在点z=0 处可导 (6)命题真。由u是实常数,根据CR方程知v也是实常数,故∫()在整个D内是常数; 后面同理可得 7.如果f()=+i是z的解析函数,证明: a1()+(1()+r(e 证1/()vn2 于是2 （4）由于 ( ) 2 ( ) ad bc f z cz d − ′ = + ，知 f (z) 在除去 z d cc = − ≠ / ( 0) 外在复平面上处处解析。 5．复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有那些方法？ 答： 判定函数解析主要有两种方法：1）利用解析的定义：要判断一个复变函数在 0 z 是否解析，只 要判定它在 0 z 及其邻域内是否可导；要判断该函数在区域 D 内是否解析，只要判定它在 D 内是否 可导；2）利用解析的充要条件，即本章§2 中的定理二。 6．判断下述命题的真假，并举例说明。 （1）如果 f ( )z 在 0 z 点连续，那么 ( ) 0 f ′ z 存在。 （2）如果 ( ) 0 f ′ z 存在，那么 f ( )z 在 0 z 点解析。 （3）如果 0 z 是 f ( )z 的奇点，那么 f (z) 在 0 z 不可导。 （4）如果 0 z 是 f ( )z 和 g z( )的一个奇点，那么 0 z 也是 f (z gz ) + ( ) 和 f (z gz )/ () 的奇点。 （5）如果uxy (, ) 和vxy (, ) 可导（指偏导数存在），那么 f () i z uv = + 亦可导。 （6）设 f () i z uv = + 在区域内是解析的。如果u 是实常数，那么 f ( )z 在整个 D 内是常数；如 果v 是实常数，那么 f ( )z 在整个 D 内是常数； 解 （1）命题假。如函数 ( ) 2 2 2 f z =| z | = x + y 在 z 平面上处处连续，除了点 z=0 外处处不可导。 （2）命题假，如函数 ( ) 2 f z =| z | 在点 z=0 处可导，却在点 z=0 处不解析。 （3）命题假，如果 0 0 fz z z fz () () 在 点不解析，则 称为 的奇点。如上例。 （4）命题假，如 f ( ) sin ch , ( ) i cos sh z x ygz x y = = ， z = ( / 2,0) π 为它们的奇点，但不 是 f () () z gz + 的奇点。 （5）命题假。如函数 f ( )z z Re z x i xy 2 = = + 仅在点 z=0 处满足 C-R 条件，故 f ( )z 仅在点 z=0 处可导。 （6）命题真。由u 是实常数，根据 C-R 方程知v 也是实常数，故 f ( )z 在整个 D 内是常数； 后面同理可得。 7．如果 f ( )z = u + i v 是 z 的解析函数，证明： ( ) () () 2 2 2 | | | f z | | f ' z | y f z x = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 证 ( ) 2 2 | f z |= u + v ，于是 f ( )z 在 D（区域）内解析 f ( )z 在 0 z 解析 f ( )z 在 D 内可导 f ( )z 在 0 z 可导 f ( )z 在 0 z 连续