§45线性方程组解的结构 a1a12 xI A b 齐次方程组Ax=0 非齐次方程组Ax=b(b≠0) 结论:(1)[A|b→|d,Ax=b与C=d同解 (2)Ax=0有非零解分rnkA<n (3)Ax=b有解分rank4= ranka (4)设 rankA=rank4=r,则 r=n时,Ax=b有唯一解; r<n时,Ax=b有无穷多解 1.Ax=0的解空间 解集合S={x|4x=0,x∈R”} Vx,y∈S,A(x+y)=Ax+4y=0→x+y∈S Vx∈S,Vk∈R,A(kx)=k(4x)=0→kx∈S 故S构成向量空间,称为Ax=0的解空间 2.Ax=0的基础解系 不妨设Ax=0的一般解为 =-b1+k1-b,r+2k2-…-b1nk ,r+2 x=-b,+k1-b,x+2k2 n一r (Vk1,k2,…,knr∈R)23 §4.5 线性方程组解的结构             = m m mn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 ,             = n x x x x  2 1 ,             = mb b b b  2 1 齐次方程组 Ax = 0 非齐次方程组 Ax = b ( b  0 ) 结论：(1) A b C d 行 → , Ax = b 与 Cx = d 同解． (2) Ax = 0 有非零解  rankA n． (3) Ax = b 有解 A A ~  rank = rank ． (4) 设 A = A = r ~ rank rank , 则 r = n 时, Ax = b 有唯一解； r  n 时, Ax = b 有无穷多解． 1． Ax = 0 的解空间 解集合   n S = x Ax = 0, x  R  x, y  S, A(x + y) = Ax + Ay = 0  x + y  S  x  S, k  R, A(k x) = k(Ax) = 0  k x  S 故 S 构成向量空间, 称为 Ax = 0 的解空间． 2． Ax = 0 的基础解系 不妨设 Ax = 0 的一般解为              = = = = − − − − = − − − − = − − − − − + + + + − + + − + + − n n r r r r r r r r rn n r r r n n r r r n n r x k x k x k x b k b k b k x b k b k b k x b k b k b k      2 2 1 1 , 1 1 , 2 2 2 2, 1 1 2, 2 2 2 1 1, 1 1 1, 2 2 1 ( k1 ,k2 ,  ,kn−r  R )