《现代控制理论基础》第二章(讲义) IⅠ设计部分 第二章线性多变量系统的运动分析 在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后,本章将讨论线性多变量系统的运动分 析,即线性状态方程的求解。对于线性定常系统,为保证状态方程解的存在性和唯一性,系 统矩阵A和输入矩阵B中各元必须有界。一般来说,在实际工程中,这个条件是一定满足 的 2.1线性系统状态方程的解 给定线性定常系统非齐次状态方程为 E: i(o)=Ax(0)+ Bu (2.1) 其中,x(0)∈R",u()∈R,A∈R",B∈R",且初始条件为x)2=xO) 将方程(2.1)写为 (t)-Ax(t)=Bu(1) 在上式两边左乘e,可得 [(o-Axo=le x(=e Bu() 将上式由0积分到t,得 e“x()-xO)=eB(xr 故可求出其解为 x(t)=e"x(0) Bu(r)d 或 x(t)=p(x(0)+ (t-T)Bu(r)dr (2.2b) 式中Φ()=e为系统的状态转移矩阵 对于线性时变系统非齐次状态方程, x(1)=A(1)x(1)+B()a(1) 类似可求出其解为 x(t)=a(t,O)x(0)+o(t, r)B(r)u(r)dr (2.4) 般说来,线性时变系统的状态转移矩阵Φ(L,0)只能表示成一个无穷项之和,只有在《现代控制理论基础》第二章(讲义) 1 II、设计部分 第二章 线性多变量系统的运动分析 在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后，本章将讨论线性多变量系统的运动分 析，即线性状态方程的求解。对于线性定常系统，为保证状态方程解的存在性和唯一性，系 统矩阵 A 和输入矩阵 B 中各元必须有界。一般来说，在实际工程中，这个条件是一定满足 的。 2.1 线性系统状态方程的解 给定线性定常系统非齐次状态方程为 Σ： x (t) = Ax(t) + Bu(t) (2.1） 其中， n r n n n r x t R u t R A R B R   ( ) , ( ) ,  ,  ，且初始条件为 ( ) (0) 0 x t x t = = 。 将方程（2.1）写为 x (t) − Ax(t) = Bu(t) 在上式两边左乘 e -At ，可得 [ ( ) ( )] [e x(t)] e Bu(t) dt d e x t Ax t −At −At −At  − = = 将上式由 O 积分到 t，得    e x t x e Bu d t o At A  − − ( ) − (0) = ( ) 故可求出其解为  − = + t o At A t x t e x e Bu  d  ( ) (0) ( ) ( ) (2.2a) 或  =  +  − t o x(t) (t)x(0) (t  )Bu( )d (2.2b) 式中 At (t) = e 为系统的状态转移矩阵。 对于线性时变系统非齐次状态方程， x (t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) (2.3） 类似可求出其解为 =  +   t o x(t) (t,0)x(0) (t, )B( )u( )d (2.4) 一般说来，线性时变系统的状态转移矩阵 ( , ) 0  t t 只能表示成一个无穷项之和，只有在