《现代控制理论基础》第二章(讲义) 特殊情况下,才能写成矩阵指数函数的形式 2.2状态转移矩阵的性质 定义2.1时变系统状态转移矩阵Φ(t,0)是满足如下矩阵微分方程和初始条件 jd)=4(v4) to,0)= 的解 下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质: 1、d(t1,1)=l; 2、Φ(t2,1)(1,t0)=d(t20); 3、Φ(t,t0)=Φ(t0,1); 4、当A给定后,Φ(t,10)唯 5、计算时变系统状态转移矩阵的公式 dp(t,)=I+4()dz+A(1米4(x2)dz21z1+ 上式一般不能写成封闭形式,可按精度要求,用数值计算的方法取有限项近似。特别地, 只有当满足 A(D A(rdr A(rdT A(t) 即在矩阵乘法可交换的条件下,Φ(1,0)才可表示为如下矩阵指数函数形式 p(,1)=exp‖4(r)da 显然,定常系统的状态转移矩阵Φ(t-l0)不依赖于初始时刻l,其性质仅是上述时变 系统的特例。 [例2.1]试求如下线性定常系统 的状态转移矩阵Φ(t)和状态转移矩阵的逆Φˉ(t)。 [解]对于该系统 2《现代控制理论基础》第二章(讲义) 2 特殊情况下，才能写成矩阵指数函数的形式。 2.2 状态转移矩阵的性质 定义 2.1 时变系统状态转移矩阵 ( , ) 0  t t 是满足如下矩阵微分方程和初始条件     =  =  t t I t t A t t t ( , ) ( , ) ( ) ( , ) 0 0 0 0  (2.5) 的解。 下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质： 1、 (t,t) = I ； 2、 ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 1 0 2 0  t t  t t =  t t ； 3、 ( , ) ( , ) 0 0 1  t t =  t t − ； 4、当 A 给定后， ( , ) 0  t t 唯一； 5、计算时变系统状态转移矩阵的公式 +      = + +    t t t t t t t I A d A A d d 0 1 0 0 0 1 2 2 1 ( , ) ( )  ( ) ( )    (2.6a) 上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。特别地， 只有当满足 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 A t A d A d A t t t t t     =           即在矩阵乘法可交换的条件下， ( , ) 0  t t 才可表示为如下矩阵指数函数形式  =   t t t t A d 0 ( , ) exp ( ) 0   (2.6b) 显然，定常系统的状态转移矩阵 ( ) 0  t − t 不依赖于初始时刻 0 t ，其性质仅是上述时变 系统的特例。 ------------------------------------------------------------------------------ [例 2．1] 试求如下线性定常系统             − − =      2 1 2 1 2 3 0 1 x x x x   的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆Ф-1 (t）。 [解] 对于该系统，       − − = 2 3 0 1 A