注意上式右方与{n=xm-1,…,50=x0}无关,可知(9.18)式对m+1也成立) Markov性的等价性质5 对于任意有界 Borel函数g,即任意实数x,x0,…,xn-1,均有 E((m)米0=x,…5m1,5n=x)=E(g(5n米n=x) (在g(x)=(x)时,(9.19)就成为(9.15)然而,从(9.15推导(9.19)需要测度论的基本知识,本 书从略这里我们粗略地指出其朴素思想,就是g=g-g,其中g=g1,而g2们可用有 限个示性函数的线性组合来近似, 注等价性质1,2,3,5诸款都有相应于等价性质4的形式,读者可自己列出它们 Markov性的等价性质6(最一般的形式) 对于任意实 Borel集∧,及只由随机序列{ξm}在时刻n及其后的信息所决定的随机 变量nn,恒有 P(nn∈An=xn=xn,…)=P(n∈Nn=x) 或 E(n1n=x,5n1=xm1…,50=x)=E(Tn=x) 注这个等价条件的内涵十分丰富,其等价性的证明在测度论中非常典型,本书从略 与离散状态的 Markov链的转移矩阵类似,在连续状态情形,我们有概率转移核」 2.3概率转移核 定义9.17记 pm(x,A)=P(En∈A|n=x),(m≥n) 这是一个条件分布(上式右方就是E(IA(n)n=x) p(x,A)=64(x)= (x∈A) 0 (xE 4) 特别地,p(x,A)称为时刻n(到时刻n+1)的概率转移核,而p(m(x,A)就称为从 n出发的k步概率转移核 特别地,若存在p"m(x,y),(n<m),使 那么p{m(x,y)就是:在n=x的条件下,m的条件分布密度,称为条件转移密度241 注意上式右方与{ , , } 1 1 0 0 x x xn - = n- L x = 无关, 可知(9.18)式对m +1也成立）. Markov 性的等价性质５ 对于任意有界 Borel 函数 g ，即任意实数 0 1 , , , n- x x L x ，均有 ( ( ) , , , ) ( ( ) ) 0 0 1 1 E g x x E g x x n+１ x = L xn￾xn = = xn+ xn = . (9. 19) (在 g(x) I (x) = L 时, (9. 19)就成为(9. 15). 然而，从(9. 15)推导 (9. 19) 需要测度论的基本知识, 本 书从略．这里我们粗略地指出其朴素思想， 就是 + - g = g - g , 其中 { >0} + g = gI g ，而 ± g 们可用有 限个示性函数的线性组合来近似)． 注 等价性质 1，2，3，5 诸款都有相应于等价性质 4 的形式，读者可自己列出它们. Markov 性的等价性质 6 （最一般的形式） 对于任意实 Borel 集 L ，及只由随机序列{ }m x 在时刻n 及其后的信息所决定的随机 变量hn， 恒有 ( , , ) ( ) 1 1 P x x P x hn Î Lxn = x n- = n- L = hn Î Lxn = (9. 20) 或 ( , , , )) ( ) 1 1 0 0 E x x x E x hn xn = xn- = n- L x = = hn xn = . (9. 21) 注 这个等价条件的内涵十分丰富， 其等价性的证明在测度论中非常典型，本书从略. 与离散状态的 Markov 链的转移矩阵类似, 在连续状态情形, 我们有概率转移核. 2. 3 概率转移核 定义９．１７ 记 ( , ) = ( , ) p x L n m P( | x),(m n) xm Î L xn = ³ . (9. 22) 这是一个条件分布(上式右方就是 E(I ( ) | x) L xm x n = ). î í ì Ï Î = = 0 ( ) 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) L L L d D L x x p x x n n . 特别地, ( , ) ( , 1) p x L n n+ 称为时刻 n (到时刻 n +1)的概率转移核, 而 ( , ) ( , ) p x L n n+k 就称为从 n 出发的k 步概率转移核. 特别地, 若存在 ( , ),( ) ( , ) p x y n m n m < , 使 ò L = L ( , ) ( , ) p x n m p x y dy n m ( , ) ( , ) , (9. 23) 那么 (. , ) ( , ) p x y n m 就是: 在 x x n = 的条件下, m x 的条件分布密度, 称为条件转移密度