当存在联合密度时,(9.16)式也有其相应的条件分布密度形式 Markov性的等价性质2 对于随机序列{n}在大于时刻n所确定的随机事件B={m∈An1…nk∈Ank} 及随机事件A={50∈A2…,m1∈A1},有 P(BA,5n=x)=P(BE,=x) P(BA)=P(B I5m=x)P(AS=x (9.17) (直观证明我们只在一切条件分布密度都存在情形证明(917)式先看k=2情形.由条件概率的性 质,推广了的全概率公式与 Markov性的定义,我们有 PBA,5n=x)=P(5m∈An1,5n2∈An+2|5n=x,A) (直观地)=P(n2∈An+2|5n1∈An1,5n=x,A)P(n+1∈An|1n=x,A =「P(5m∈Am2|5m=y,5n=x,A)n(y)P(5n∈Am|5n=x) AP(5n2∈An2|n+1=y)fn(y)dP(n∈An|n=x) 其中∫n是随机变量5n的分布密度,由于上式右方与随机事件A无关,可见等式左方应该等于 P(Bkn=x)对于一般的k,只需做归纳法) arkov性的等价性质3 在已知“现在”的条件下,“将来”与“过去”是条件独立的(此即(9.17)) Markov性的等价性质4 机序列{n}及Vm≥1,n≥0及,任意 borel集A及实数x,xa2…,xn-1,都有 P(5nm∈A|n=x,n1=xn1…,5o=xo)=P(nm∈A|5n=x).(9.18) (直观证明设一切条件分布密度都存在.m=1时即为 Markov性的定义.对m作归纳法,假定m 时(9.18)正确,今证m+1时它也正确 P(5nm∈A|5n=x, ∫P(5m∈A.5m=yl5n=x 50=x0)fn4(y)y ∫P(5m∈A|5m=y,5,=x5n=x1…50=x) fm(|,=x,5n-=xn-,", 5o=xo)dy 利用归纳法假设及 Markov性的定义,上式简化为 =∫P(m+1∈A15n=y)m1(yl1n=x0 0240 当存在联合密度时, (9.16)式也有其相应的条件分布密度形式. Markov 性的等价性质 2 对于随机序列{ }n x 在大于时刻 n 所确定的随机事件 { , , } B = n+1 Î n+1 n+k Î Ln+k x L L x 及随机事件 { , , } A = 0 Î 0 n-1 Î Ln-1 x L L x ，有 P(B A, x) P(B x) x n = = xn = (9. 17) 或 P(BA) P(B | x)P(A x) = xn = xn = . (9. 17)’ （直观证明 我们只在一切条件分布密度都存在情形证明(9.17)式. 先看 k = 2 情形. 由条件概率的性 质, 推广了的全概率公式与 Markov 性的定义, 我们有 P(B A, x) P( xn = = , | , ) x n+1 Î Ln+1 xn +2 Î Ln+2 x n = x A （直观地） ( | , , ) = P xn+2 Î Ln +2 xn+1 Î Ln+1 xn = x A ( | , ) P xn+1 Î Ln +1 xn = x A P y x A f y dy n n n n n n ( | , , ) ( ) 2 2 1 1 1 = ò L + Î L + + = = + + x x x ( | ) 1 1 P x xn + Î Ln+ xn = P y f y dy n n n n n ( | ) ( ) 2 2 1 1 1 = ò L + Î L + + = + + x x ( | ) 1 1 P x xn + Î Ln+ xn = ， 其中 n +1 f 是随机变量 n+1 x 的分布密度. 由于上式右方与随机事件 A 无关, 可见等式左方应该等于 P(B x) xn = . 对于一般的k , 只需做归纳法.）. Markov 性的等价性质 3 在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去” 是条件独立的 (此即(9. 17)’) Markov 性的等价性质 4 对随机序列{ }n x 及"m ³ 1, n ³ 0 及, 任意 Borel 集 L 及实数 0 1 , , , n- x x L x , 都有 P(xn+m Î L | xn = x,xn-1 = xn-1 ,L,x 0 = x0 ) = P( | x) xn+m Î L x n = . (9. 18) （直观证明 设一切条件分布密度都存在. m=1 时即为 Markov 性的定义. 对m 作归纳法，假定 m 时(9.18)正确, 今证 m+1 时它也正确: ( | , , , ) 1 1 1 0 0 P x x x xn+m+ Î L xn = xn - = n- L x = P y x x x f y dy n m n n n n n ( , | , , , ) ( ) = ò + +1 Î L +1 = = -1 = -1 0 = 0 +1 x x x x L x ( | , , , , ) 1 1 1 1 0 0 P y x x x = n+m+ Î L n+ = n = n- = n - = ò x x x x L x f y x x x dy n n n n ( | , , , ) +1 = -1 = -1 0 = 0 x x L x 利用归纳法假设及 Markov 性的定义, 上式简化为 ( | ) 1 1 P y = n +m + Î n + = ò x L x f y x dy n n ( | ) +1 x =